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'''Segundo teorema de incompletud'''. Si AP es consistente entonces no puede demostrar la fórmula <math>\mathsf{cons_{AP}}</math> que dice que AP es consistente.
==Lógicas no-clásicas==
Se entiende por 'lógica clásica' la lógica de primer orden desarrollada en Frege (1879) e introducida en la sección anterior. Desde los inicios, sin embargo, se cuestionó que la lógica clásica fuera adecuada o suficiente para caracterizar diversos aspectos relacionados con el lenguaje natural, la naturaleza de determinados conceptos e incluso la naturaleza última del mundo. Así, por ejemplo, se cuestionó que el condicional de la lógica clásica recogiera el significado de los condicionales del lenguaje natural (Lewis 1912), que la lógica clásica fuera adecuada para representar el significado de las expresiones vagas (Russell 1923), o compatible con la suposición de que el futuro está abierto (Lukasiewicz 1920). Existe una gran cantidad de lógicas que caen bajo el rótulo de lógicas no-clásicas; en esta sección presentaremos solo dos ejemplos: la lógica modal y la lógica de tres valores.
Hay al menos dos sentidos en los que una lógica puede ser ''no-clásica'': por ser una ''alternativa'' a la lógica clásica o por ser una ''extensión'' de la lógica clásica. Una alternativa a la lógica clásica es una lógica que emplea el mismo lenguaje que la lógica clásica pero que discrepa con la lógica clásica sobre qué argumentos son válidos (típicamente, rechaza la validez de algunos argumentos clásicamente válidos). Una extensión de la lógica clásica es una lógica que emplea un lenguaje más amplio que la lógica clásica de manera que coincide con la lógica clásica para aquellos argumentos que emplean el lenguaje clásico pero mantiene que hay más expresiones lógicas y, por tanto, más argumentos válidos en el nuevo lenguaje.
===Alternativas a la lógica clásica: tres valores===
El lenguaje es igual al de la lógica clásica aunque en esta ocasión nos centraremos en el lenguaje proposicional. Contaremos, por tanto, con un conjunto enumerable de variables proposicionales <math>Var</math>: <math>\{p, q, r, \dots\}</math> como vocabulario no-lógico, las constantes lógicas clásicas: <math>\lnot, \land, \lor, \supset, \equiv</math> y dos paréntesis: '<math>(</math>' y '<math>)</math>'.
Una interpretación clásica para el lenguaje proposicional es una asignación de valores de verdad, verdadero o falso y no ambos, a cada una de las variables del lenguaje. En la semántica de tres valores, una interpretación es una asignación de valores de verdad, verdadero, falso o intermedio a las variables. Es decir, una función del conjunto de variables al conjunto de tres valores de verdad: <math>\mathbb{I}\;:\;Var\longrightarrow\{0, \frac{1}{2}, 1\}</math>.
Dada una interpretación de las variables, ésta se extiende a todas las fórmulas del lenguaje de acuerdo a las siguientes cláusulas:
:<math>\mathbb{I}(A\land B)= min(\mathbb{I}(A), \mathbb{I}(B))</math>
:<math>\mathbb{I}(A\lor B)= max(\mathbb{I}(A), \mathbb{I}(B))</math>
:<math>\mathbb{I}(\lnot A)=1 - \mathbb{I}(A)</math>
:<math>\mathbb{I}(A\supset B)= max(1 - \mathbb{I}(A), \mathbb{I}(B))</math>
'''Comentario 4.1'''
La semántica de tres valores difiere de la semántica clásica solamente en incluir un tercer valor: <math>\frac12</math>. Una vez que ampliamos el número de valores de verdad hay que explicar cómo este nuevo modo de interpretar se extiende a todas las fórmulas del lenguaje. Las cláusulas señaladas más arriba se conocen como ''esquema de Kleene fuerte''. Existen otros modos de extender una interpretación, pero éste es quizá el más natural. La conjunción entre <math>A</math> y <math>B</math> toma como valor el mínimo entre los valores de <math>A</math> y <math>B</math>. Por ejemplo, si <math>\mathbb{I}(A)=1</math> y <math>\mathbb{I}(B)=\frac12</math> entonces <math>\mathbb{I}(A\land B)=\frac12</math>. Nótese, que la conjunción funciona al modo clásico para los valores clásicos. De modo similar, la disyunción de <math>A</math> y <math>B</math> toma el máximo de los valores entre <math>A</math> y <math>B</math>. La negación conecta el valor 1 con el valor 0 y el valor 0 con el valor 1 (igual que en el caso clásico) pero conecta el valor <math>\frac12</math> con él mismo. La definición del condicional se pueden entender en términos de la disyunción y negación, ya que <math>A\supset B;\equiv\;\lnot A\lor B</math>.
<math>A</math> es una consecuencia lógica de <math>\Gamma</math> en <math>\mathsf{LP}</math>, en símbolos <math>\Gamma\vDash_{\mathsf{LP}} A</math> cuando,
<div align="center">
No hay interpretación <math>\mathbb{I}</math> tal que<math>\qquad\qquad\qquad</math>
<math>\mathbb{I}(B)>0</math> para todo <math>B\in\Gamma</math> y <math>\mathbb{I}(A)=0</math>.
</div>
<math>A</math> es una consecuencia lógica de <math>\Gamma</math> en <math>\mathsf{K3}</math>, en símbolos <math>\Gamma\vDash_{\mathsf{K3}} A</math> cuando,
<div align="center">
No hay interpretación <math>\mathbb{I}</math> tal que<math>\qquad\qquad\qquad</math>
<math>\mathbb{I}(B)=1</math> para todo <math>B\in\Gamma</math> y <math>\mathbb{I}(A)<1</math>.
</div>
