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Se dice que una teoría <math>\mathbf{T}</math> es '''consistente''' cuando no hay ninguna oración <math>A</math> tal que <math>\mathbf{T}\nvdash A\land\lnot A</math>. Se dice que <math>\mathbf{T}</math> es '''completa''' cuando para toda oración <math>A</math> o bien <math>\mathbf{T}\vdash A</math> o <math>\mathbf{T}\vdash\lnot A</math>. En lógica clásica las teorías inconsistentes no son interesantes pues a partir de ellas podemos demostrar ''todas'' las oraciones del lenguaje. Por otra parte, una teoría completa es interesante porque nos da ''un veredicto'' para cada una de las preguntas que podemos formular en su lenguaje. El primer teorema de incompletud establece que si la Aritmética de Peano es consistente, entonces es incompleta.
'''Primer teorema de incompletud'''. Si <math>\mathbf{T}</math> es una teoría aritmética (axiomática) capaz de representar ciertas relaciones y funciones sobre los números naturales entonces, si es <math>\mathbf{T}</math> es consistente, hay una oración <math>G</math> de <math>\mathcal{L_A}</math> tal que <math>\mathbf{T}\nvdash G</math> y <math>\mathbf{T}\nvdash \lnot G</math>.
La demostración de este teorema es laboriosa y seguramente una de las demostraciones en El Libro de Erdös. La Aritmética de Peano expresa propiedades y relaciones sobre los números naturales, pero Gödel demuestra que hay procedimientos para codificar en números naturales afirmaciones acerca de <math>\mathcal{L_A}</math> y de la propia Aritmética de Peano. De este modo, Gödel muestra cómo una teoría que sea capaz de expresar cierta cantidad de aritmética, es capaz de realizar afirmaciones acerca de la propia teoría. Particularmente, contiene una fórmula <math>Prov(x)</math> que es verdadera de los números correspondientes a oraciones demostrables en la Aritmética de Peano. A través de una técnica conocida como ''diagonalización'', muestra que hay una oración <math>G</math> que es verdadera si y sólo si su número correspondiente no está en <math>Prov(x)</math>. El teorema no muestra solo que la Aritmética de Peano es (si consistente) incompleta, sino, que es ''incompletable''. Podríamos añadir la oración de Gödel <math>G</math> como un nuevo axioma para dar lugar a una nueva teoría, <math>\mathbf{AP^1}</math> (si <math>\mathbf{AP}</math> es consistente entonces <math>\mathbf{AP^1}</math> también lo es). El procedimiento de Gödel, sin embargo, nos proporcionaría una nueva oración <math>G_{AP^1}</math> indecidible en <math>\mathbf{AP^1}</math>. Podemos seguir añadiendo axiomas indefinidamente; siempre que la adición dé lugar a una teoría axiomática, podremos encontrar una nueva oración de Gödel para la teoría resultante. Este último hecho muestra que no hay una única oración indecidible en la Aritmética de Peano sino una cantidad infinita de ellas.
El primer teorema de incompletud puede resultar más o menos sorprendente. Lo cierto es que su contrario sí que hubiera resultado sorprendente. El lenguaje de la aritmética es menos inocente de lo que puede parecer a primera vista. Consideremos las siguientes abreviaturas:
*<math>div(x, y)=_{df}\;\exists z\;(x\cdot z\approx y)</math>
*<math>par(x)=_{df}\;\exists y\; (y\not\approx 0 \land y + y\approx x)</math>
*<math>primo(x)=_{df}\;\forall z\;(div(z, x)\supset z\approx 1\lor z\approx x)\land x\not\approx 1</math>
*<math>y>x =_{df}\;\exists z\;(x+z\approx y\land z\not\approx 0)</math>
<math>div(x, y)</math> es verdadera de dos números <math>x</math> e <math>y</math> exactamente cuando <math>y</math> es divisible por <math>x</math>. De modo similar, las siguientes fórmulas expresan las propiedades de ser par, ser primo y ser menor que.
(CG) <math>\forall x((par(x)\land x>2)\supset\exists y\exists z((primo(y)\land primo(z))\land y+z\approx x))</math>
No sabemos si la Conjetura de Goldbach es verdadera o falsa, pero si la aritmética fuese axiomatizable, éste y una gran cantidad de problemas que han desafiado las mentes más brillantes durante siglos podrían resolverse de manera mecánica.
'''Segundo teorema de incompletud'''. Si AP es consistente entonces no puede demostrar la fórmula <math>\mathsf{cons_{AP}}</math> que dice que AP es consistente.
