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::<math>\vdots</math>
Cada subconjunto finito de oraciones de esta lista es verdadero en un universo finito, pero no la lista completa. Hay que notar, además, que todas las oraciones <math>S_i\quad (0<i)</math> se pueden expresar en <math>\mathcal{L_A}</math>. <math>S_{2}</math>, por ejemplo, es <math>\exists x\;\exists y\; (x\;\nidnot\approx\; y)</math>. De modo que <math>S_0</math> no se puede expresar en <math>\mathcal{L_A}</math> o en cualquier otro lenguaje de primer orden.
La noción de ''finitud'' resulta esencial para caracterizar la aritmética; más en particular, resulta esencial para caracterizar la noción de ''número natural''. Un número natural es aquél objeto que puede obtenerse a partir de 0 y de un ''número finito'' de aplicaciones de la función sucesor. A pesar de que hay infinitos números naturales, lo característico de cualquier número natural es ''situarse a una distancia finita'' de 0.
===Incompletud===
En la sección anterior vimos algunas limitaciones a la hora de representar la aritmética a través de un conjunto de oraciones de <math>\mathcal{L_A}</math>. En esta sección se discute sobre la posibilidad de ''axiomatizar'' la teoría de la aritmética. El principal resultado en este sentido es que <math>Teo(\mathcal{N})</math> no es axiomatizable.
Una teoría axiomática es un conjunto de oraciones de un lenguaje lógico (los axiomas) junto con un conjunto de reglas que nos permite construir demostraciones a partir de los axiomas. Para que una teoría sea propiamente axiomática tiene que ser "efectivamente decible" qué fórmulas del lenguaje son demostrables a partir de los axiomas (ver Smith 20017, 22-3). La ''Aritmética de Peano'' es una teoría axiomática en este sentido.
<div align="center">Tabla 5: Aritmética de Peano</div>
[[File:Tabla 5 LM.png|center]]
(1) dice que el 0 no es el sucesor de ningún número. (2) dice que números distintos tienen sucesores distintos. (3) y (4) explican cómo reducir la suma a la sucesión y (5) y (6) hacen lo propio con la multiplicación. (7) no es propiamente un axioma sino un ''esquema'' de axioma. Supongamos que <math>A</math> es una fórmula de <math>\mathcal{L_A}</math> con <math>x</math> como única variable libre y <math>A[x/t]</math> el resultado de sustituir todas las ocurrencias libres de <math>x</math> por <math>t</math>. Entonces (7) puede leerse de esta manera: si el 0 tiene una propiedad <math>A</math> y esta propiedad se hereda a través de la sucesión, entonces todo número tiene la propiedad <math>A</math>. (7) se conoce como ''esquema de inducción''. Dentro de las teorías aritméticas en <math>\mathcal{L_A}</math> que tratan de capturar la esencia de la aritmética, la Aritmética de Peano es un buen candidato.
Se dice que una teoría <math>\mathbf{T}</math> es '''consistente''' cuando no hay ninguna oración <math>A</math> tal que <math>\mathbf{T}\nvdash A\land\lnot A</math>. Se dice que <math>\mathbf{T}</math> es '''completa''' cuando para toda oración <math>A</math> o bien <math>\mathbf{T}\vdash A</math> o <math>\mathbf{T}\vdash\lnot A</math>. En lógica clásica las teorías inconsistentes no son interesantes pues a partir de ellas podemos demostrar ''todas'' las oraciones del lenguaje. Por otra parte, una teoría completa es interesante porque nos da ''un veredicto'' para cada una de las preguntas que podemos formular en su lenguaje. El primer teorema de incompletud establece que si la Aritmética de Peano es consistente, entonces es incompleta.
