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Un número natural es un objeto que se sitúa a una distancia finita de cero. La característica más notable de los modelos no-estándar es que su universo contiene elementos que se sitúan a una distancia infinita de cero (de hecho, tiene infinitas galaxias de elementos no-estándar densamente ordenadas con la galaxia estándar como elemento mínimo y sin elemento máximo, ver Zabalardo 2002, 307-311). El motivo por el que la teoría de la aritmética <math>Teo(\mathcal{N})</math> no es capaz de detectar la diferencia entre el modelo estándar y los modelos no-estándar es (en términos muy generales) que un lenguaje de primer orden no es capaz de expresar el concepto de finitud. Este hecho está estrechamente ligado a la compacidad de la lógica de primer orden (ver sección 2.5). La propiedad de compacidad se puede expresar del siguiente modo,
'''Compacidad''' Si todo subconjunto finito de <math>\Gamma</math> tiene un modelo, entonces <math>\Gamma</math> tiene un modelo.
'''Ejercicio''': mostrar que ambas formulaciones son equivalentes.
Consideremos ahora la siguiente lista de oraciones:
:<math>S_{0}</math> Hay un número finito de objetos en el universo
:<math>S_{1}</math> Hay al menos un objeto en el universo
:<math>S_{2}</math> Hay al menos dos objetos en el universo
:<math>S_{3}</math> Hay al menos tres objetos en el universo
::<math>\vdots</math>
Cada subconjunto finito de oraciones de esta lista es verdadero en un universo finito, pero no la lista completa. Hay que notar, además, que todas las oraciones <math>S_i\quad (0<i)</math> se pueden expresar en <math>\mathcal{L_A}</math>. <math>S_{2}</math>, por ejemplo, es <math>\exists x\;\exists y\; (x\;\nid\; y)</math>. De modo que <math>S_0</math> no se puede expresar en <math>\mathcal{L_A}</math> o en cualquier otro lenguaje de primer orden.
La noción de ''finitud'' resulta esencial para caracterizar la aritmética; más en particular, resulta esencial para caracterizar la noción de ''número natural''. Un número natural es aquél objeto que puede obtenerse a partir de 0 y de un ''número finito'' de aplicaciones de la función sucesor. A pesar de que hay infinitos números naturales, lo característico de cualquier número natural es ''situarse a una distancia finita'' de 0.
