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*para cada símbolo de función <math>f</math> de <math>\mathcal{L}</math> de <math>n</math> argumentos, <math>h(f_{\mathcal{A}}[a_1\dots a_n])= f_{\mathcal{B}}(h[a_1]\dots h[a_n])</math>
*para cada símbolo de relación <math>R</math> de <math>\mathcal{L}</math> de <math>m</math> argumentos, <math>\langle a_1\dots a_m\rangle\in R_{\mathcal{A}}</math> ssi <math>\langle h(a_1)\dots h(a_m)\rangle\in R_{\mathcal{B}}</math>.
Se dice que dos estructuras son isomorfas cuando existe un isomorfismo entre ellas. Desde un punto de vista formal, dos estructuras isomorfas son dos copias idénticas. Pueden diferir en aspectos cualitativos (como el tipo de objetos y relaciones que contienen) pero tienen exactamente el mismo número de objetos (cláusula 1) conectados exactamente del mismo modo por funciones en una y otra estructura (cláusula 3) y relaciones con idéntica extensión en cada universo (cláusula 4). Se dice de estructuras isomorfas que son ''elementalmente equivalentes''.
Los lenguajes de primer orden no pueden discriminar entre estructuras isomorfas en el sentido de que cualquier oración de un lenguaje de primer orden que sea verdadera en una estructura <math>\mathcal{A}</math> es también verdadera en toda estructura isomorfa con <math>\mathcal{A}</math>. Se dice que un conjunto de oraciones <math>\Gamma</math> representa una estructura <math>\mathcal{A}</math> ''hasta el isomorfismo'' cuando tiene a <math>\mathcal{A}</math> como modelo y cualquier otra estructura representada por <math>\Gamma</math> es isomorfa con <math>\mathcal{A}</math> (cuando un conjunto de oraciones representa una estructura hasta el isomorfismo se dice que es una ''teoría categórica'') ¿Es posible representar estructuras hasta el isomorfismo?
Si <math>\mathcal{A}</math> es una estructura finita (esto es, si su universo <math>\mathbb{A}</math> es finito) entonces existe un conjunto de oraciones de un lenguaje de primer orden que representa <math>\mathcal{A}</math> hasta el isomorfismo (Zabalardo 2002, 290). Cuando <math>\mathcal{A}</math> es una estructura infinita, la situación es radicalmente distinta. Por los teoremas de Löwenheim-Skolem, cualquier conjunto de oraciones que represente a <math>\mathcal{A}</math> tiene modelos de todas las cardinalidades infinitas mayor o igual que la cardinalidad del lenguaje (naturalmente, si el tamaño del universo de <math>\mathcal{A}</math> es distinto al tamaño del universo de <math>\mathcal{B}</math>, no puede haber una correspondencia, y por tanto isomorfismo, entre estas estructuras). Esto significa ningún conjunto de oraciones de <math>\mathcal{L_A}</math> representa la estructura de la aritmética <math>\mathcal{N}</math> hasta el isomorfismo.
'''Modelos no-estándar de la aritmética'''
Es posible aún realizar una pregunta más modesta acerca de la posibilidad de representación de estructuras infinitas y de <math>\mathcal{N}</math> en particular. Sabemos que si <math>\mathcal{A}</math> es infinita, ninguna teoría que tenga a <math>\mathcal{A}</math> como modelo es categórica. Sin embargo, aún podría suceder que la teoría represente a <math>\mathcal{A}</math> y que cualquier otro modelo ''de la misma cardinalidad que <math>\mathcal{A}</math>'' sea isomorfo con <math>\mathcal{A}</math>. De este modo, aunque una estructura infinita no sea representable hasta el isomorfismo, aún puede ser representable hasta el isomorfismo ''en su potencia''. ¿Es posible representar la estructura de la aritmética <math>\mathcal{N}</math> con oraciones de <math>\mathcal{L_A}</math> hasta el isomorfismo en su potencia?
La respuesta es negativa. Sea <math>Teo(\mathcal{N})</math> el conjunto de todas las oraciones de <math>\mathcal{L_A}</math> que son verdaderas en <math>\mathcal{N}</math>, es decir <math>Teo(\mathcal{N})</math> es '''LA''' teoría de <math>\mathcal{N}</math>. Si algún conjunto de oraciones de <math>\mathcal{L_A}</math> representa a <math>\mathcal{N}</math> hasta el isomorfismo en su potencia, <math>Teo(\mathcal{N})</math> lo hace. En otras palabras: si <math>Teo(\mathcal{N})</math> no representa a <math>\mathcal{N}</math> hasta el isomorfismo en su potencia, ninguna teoría formulada en <math>\mathcal{L_A}</math> lo hace. La imposibilidad de representar a <math>\mathcal{N}</math> hasta el isomorfismo en su potencia consiste en demostrar que <math>Teo(\mathcal{N})</math> tiene modelos de igual cardinalidad que <math>\mathcal{N}</math> pero no isomorfos con <math>\mathcal{N}</math> (estos modelos se llaman ''modelos no-estándar'' de la aritmética).
<div align="center">Tabla 4: Modelos no-estándar</div>
[[File:Tabla 4 LM.png|center]]
