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==Representación y axiomatización de la aritmética==
Una interpretación <math>\langle\mathbb{U}, \mathbb{I}\rangle</math> para un lenguaje <math>\mathcal{L}</math> es una ''estructura'' en el sentido matemático de: un conjunto no vacío con funciones y propiedades / relaciones. La aritmética es la estructura (que llamaremos <math>\mathcal{N}</math>) formada por el conjunto de los números naturales <math>\mathbb{N}</math>, linealmente ordenados por la relación <math>\mathsf{menor\; o\; igual\; que}</math>, con cero como elemento mínimo, sin elemento máximo y con las funciones de sucesión, suma y multiplicación. El lenguaje de la aritmética <math>\mathcal{L}_A\</math> es un lenguaje de primer orden con identidad similar a esta estructura en el sentido de que contiene una constante, un símbolo de un argumento y dos símbolos de dos argumentos: <math>0, s, +, \cdot</math> (no confundir expresiones del lenguaje con las funciones en <math>\mathcal{N}</math>). En la primera sección hablaremos de las posibilidades de representación de <math>\mathcal{N}</math> con oraciones de <math>\mathcal{L}_A\</math>. En la sección siguiente hablaremos de las posibilidades de axiomatización de <math>\mathcal{N}</math> con oraciones de <math>\mathcal{L}_A\</math>.
===Representación===
Podemos emplear oraciones de un lenguaje de primer orden para tratar de representar algunos conceptos. Por ejemplo, la oración
<math>\forall x\forall y\forall z((xRy\land yRz)\supset Ryz)</math>
es verdadera exactamente en aquellas estructuras en que <math>R</math> es interpretado con una relación transitiva. De modo similar, podemos emplear conjuntos de oraciones para tratar de representar ''estructuras'' enteras, donde una estructura es un conjunto no vacío con funciones y relaciones dentro de ese conjunto (lo que venía siendo una interpretación en la sección 2.2). Un conjunto de oraciones <math>\Gamma</math> representa una estructura <math>\mathcal{A}</math> cuando la estructura es un modelo de <math>\Gamma</math>. Por ejemplo, la oración anterior representa las estructuras donde <math>R</math> es interpretado con una relación transitiva. Sin embargo, esa oración no representa ninguna estructura en particular con gran detalle, puesto que es verdadera en estructuras que son muy distintas entre sí (es verdadera, por ejemplo, tanto en estructuras finitas como estructuras infinitas).
Un '''isomorfismo''' de una estructura <math>\mathcal{A}</math> a una estructura <math>\mathcal{B}</math> es una función <math>h</math> del universo de <math>\mathcal{A}</math> al universo de <math>\mathcal{B}</math>, <math>h:\mathbb{A}\longrightarrow\mathbb{B}</math>, que cumple las siguientes características,
*<math>h</math> es una correspondencia entre los universos de <math>\mathcal{A}</math> y <math>\mathcal{B}</math>
*para cada constante <math>a</math> de <math>\mathcal{L}</math>, <math>h(a_{\mathcal{A}})=a_{\mathcal{B}}</math>
*para cada símbolo de función <math>f</math> de <math>\mathcal{L}</math> de <math>n</math> argumentos, <math>h(f_{\mathcal{A}}[a_1\dots a_n])= f_{\mathcal{B}}(h[a_1]\dots h[a_n])</math>
*para cada símbolo de relación <math>R</math> de <math>\mathcal{L}</math> de <math>m</math> argumentos, <math>\langle a_1\dots a_m\rangle\in R_{\mathcal{A}}</math> ssi <math>\langle h(a_1)\dots h(a_m)\rangle\in R_{\mathcal{B}}</math>.
