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De acuerdo con Frege la matemática, particularmente la aritmética, es analítica y ''a priori''. Frege entiende, sin embargo, los conceptos de ''analiticidad'' y ''a prioricidad ''en un sentido distinto al kantiano. De acuerdo con Frege, una proposición es analítica cuando su demostración se puede fundamentar exclusivamente en las leyes de la lógica y definiciones que envuelvan exclusivamente conceptos lógicos. Demostrar que las matemáticas son analíticas consiste en demostrar que sus proposiciones son demostrables a partir de las leyes de la lógica y definiciones. En este sentido, el proyecto logicista de Frege consiste en demostrar que la aritmética es analítica. Es decir, Frege pretende definir (a través de conceptos lógicos) qué es un número natural, en qué consiste la suma, la multiplicación y la exponenciación y cómo derivar de estas definiciones cualquier afirmación aritmética verdadera (Frege 1884).
Para Frege, las nociones de ''concepto'', ''extensión ''e'' identidad'' forman parte de los conceptos de la lógica, como las nociones de ''conjunción'' o ''generalización existencial''.[[#1|<sup>1</sup>]]<span id=".">
Frege liga, en primer lugar, la idea de número a la extensión de los conceptos. Dos conceptos son equinuméricos cuando existe una correspondiencia biunívoca entre sus extensiones. El primer paso de Frege emplea el, así llamado, Principio de Hume:
La matemática real, de acuerdo con Hilbert, se reduce a la aritmética finitaria: el conjunto de verdades con cuantificadores acotados y algunas otras generalizaciones, en todo caso, todas ellas ''efectivamente decidibles''.
La aritmética finitaria, sin embargo, es solamente una pequeña porción de la matemática (solamente la idea de ''número real'' desborda ya la aritmética finitaria). Hilbert considera ''matemática ideal'' a cualquier teoría que sobrepase los conceptos de la aritmética finitaria. De acuerdo con Hilbert, el único requisito para la legitimidad de una teoría ideal es que sea ''conservadora ''respecto de la aritmética finitaria. Intuitivamente, este requisito consiste en que, aunque una teoría ideal puede ser capaz de demostrar más afirmaciones que la aritmética finitaria, tiene que estar de acuerdo en las afirmaciones finitarias: una teoría ideal no debe demostrar ninguna afirmación finitaria falsa. La matemática ideal tiene contenido solo en virtud de su relación con la aritmética finitaria. Las afirmaciones de una teoría ideal que no corresponden a afirmaciones finitarias verdaderas son ‘verdaderas’ solo en el sentido minimalista de ‘consistente con la aritmética finitaria’.[[#2|<sup>2</sup>]]<span id="..">
El programa de Hilbert y el impacto de los Teoremas de Incompletud
<math>\forall x\;\forall y\;\forall z\; ((x+y)\cdot z = x + (y\cdot z))</math>
Definamos la teoría de la aritmética <math>Teo(\mathcal{N})</math> como el conjunto que contiene todas las oraciones del Lenguaje de la Aritmética que son verdaderas en la estructura de la aritmética <math>\mathcal{N}</math> y solo las oraciones verdaderas en <math>\mathcal{N}</math>. Dado que toda oración de <math>\mathcal{L}_{A}</math> es verdadera o falsa en <math>\mathcal{N}</math>, si una oración <math>A</math> es verdadera en <math>\mathcal{N}</math> entonces <math>A\in Teo(\mathcal{'''N}''')</math> y si <math>A</math> es falsa en <math>\mathcal{N}</math> entonces <math>\lnot A</math> es verdadera en <math>\mathcal{N}</math> de modo que <math>\lnot A\in Teo(\mathcal{N})</math>. Es decir, por definición <math>Teo(\mathcal{N})</math> es una teoría completa: ''la'' teoría de la aritmética. Esta definición de la teoría de la aritmética, sin embargo, no nos da ninguna pista sobre las que oraciones contiene. Nos gustaría saber, por ejemplo, si afirmaciones como la Conjetura de Goldbach son o no son parte de la teoría de la aritmética. Para ello podríamos tratar de axiomatizar <math>Teo(\mathcal{N})</math>, es decir, encontrar una lista de axiomas "fácilmente reconocibles", de manera que cualquier afirmación en <math>Teo(\mathcal{N})</math> se derive por procedimientos cuya validez sea también "fácilmente reconocible". El primer teorema de incompletud establece que esta aspiración no es realizable.[[#3|<sup>3</sup>]]<span id="...">
'''Primer Teorema de Incompletud.''' El conjunto de oraciones aritméticas verdaderas no es recursivamente enumerable.
'''Segundo Teorema de Incompletud.''' Hay una oración del Lenguaje de la Aritmética, <math>con_{\mathbf{AP}}</math>, que es verdadera exactamente si la ''Aritmética de Peano'' es consistente. Ahora bien, si la ''Aritmética de Peano'' es consistente entonces <math>con_{\mathbf{AP}}</math> no es demostrable en la ''Aritmética de Peano''.
Se suele decir que el segundo teorema muestra que una teoría axiomática como la ''Aritmética de Peano'' no puede demostrar su propia consistencia (esta afirmación general está sujeta a muchos matices). Ciertamente, si la oración <math>con_{\mathbf{AP}}</math> no se puede demostrar en la ''Aritmética de Peano'', con mayor motivo no se podrá demostrar en un sistema de axiomas menor. La oración podría demostrarse en un sistema de axiomas mayor que la ''Aritmética de Peano''. El problema aquí es que esta demostración no serviría como evidencia de la consistencia de ''Aritmética de Peano'': si queremos demostrar la consistencia de un sistema no podemos asumir la consistencia de uno más fuerte. Este segundo teorema se considera fatal en relación al programa de Hilbert y su visión sobre la naturaleza de las matemáticas, puesto que, presumiblemente, la aritmética finitaria es sólo una pequeña parte de la aritmética representable dentro de la ''Aritmética de Peano'' y, por tanto, completamente insuficiente para demostrar la consistencia de ésta.[[#4|<sup>4</sup>]]<span id="....">
Brouwer es seguidor de Kant en la idea de que las matemáticas están ligadas a la actividad mental del matemático. Las matemáticas no se refieren a entidades existentes de manera independiente de la mente (al estilo platónico) ni obtienen su significado de la estipulación de reglas para la manipulación de símbolos (al estilo formalista). Para Brouwer las matemáticas están ligadas a un genero especial de intuición que forma parte de la actividad matemática. Kant ligaba la geometría a la intuición del espacio y la aritmética a la intuición del tiempo. Brouwer piensa que el desarrollo de las geometrías no-euclidianas muestra que la justificación de los juicios de la geometría no puede depender de nuestras intuiciones del espacio. Por otro lado la geometría analítica (de estilo cartesiano, donde localizaciones en el plano pueden identificarse con pares de números reales) proporciona un modo de reducir la geometría al análisis, incluyendo las geometrías no-euclidianas. De acuerdo con Brouwer tanto la geometría como la aritmética son ''sintéticas a priori'' en el sentido kantiano de requerir la participación de la ''intuición pura''. Sin embargo, Brouwer mantiene que ambas se fundan en la intuición del tiempo:
"Esta forma de neo-intuicionismo considera la separación de momentos vitales en partes cualitativamente diferentes, como unidas a la vez que separadas únicamente por el tiempo como el fenómeno fundamental del intelecto humano, pasando por la abstracción de su contenido emocional hacia el fenómeno fundamental del pensamiento matemático, la intuición de la unidad-dualidad pura. Esta intuición de unidad-dualidad, la intuición basal de las matemáticas, crea no solamente los números uno y dos, sino también todos los números ordinales finitos, en tanto que uno de los elementos de la unidad-dualidad puede ser considerado como una nueva unidad-dualidad, proceso que puede ser iterado indefinidamente; esto da lugar más adelante al menor ordinal infinito <math>\omega</math>. Finalmente, esta intuición basal de las matemáticas, en la que lo conectado y lo separado, lo continuo y lo discreto quedan unidos, da lugar inmediatamente a la intuición del continuo lineal, esto es, a el “estar entre”, que no puede ser agotado por la interposición de nuevas unidades y que, por lo tanto, nunca puede ser considerado una mera colección de unidades" (Brouwer 1983a, 57).[[#5|<sup>5</sup>]]<span id=".....">
Como muestra el texto, la visión de Brouwer sobre el papel de la intuición en la construcción de las matemáticas no es de sencilla comprensión. Uno de los aspectos más fascinantes de la visión de Brouwer sobre la naturaleza de las matemáticas es que le lleva a repudiar algunos métodos e incluso resultados de la matemática clásica. Por ejemplo, la teoría de los cardinales de Cantor y Dedekind y su caracterización de número real presupone la existencia de totalidades infinitas bien definidas o ''infinitos actuales''. Ahora bien, las totalidades infinitas actuales no cuadran con la finitud de la mente humana. Este tipo de entidades debe ser rechazado si los objetos matemáticos dependen de la actividad mental del matemático para su existencia. Como resultado de esta visión, los intuicionistas rechazan algunos resultados de la matemática clásica y, más aún, aceptan resultados cuya negación es demostrable en matemática clásica (ver Shapiro 2000, 181-3).
Según Brouwer, el único fundamento para aceptar esta ley es el platonismo: la suposición de que los objetos matemáticos existen, con sus propiedades bien definidas, en un mundo independiente de la mente (véase, en particular: Brouwer 1983b, 90-6).
De acuerdo con Hilbert, la formulación explícita de las reglas de inferencia válida, esto es, la formulación de un cálculo lógico, juega un papel primario en la actividad matemática. Para Brouwer, por el contrario, la formulación de un cálculo lógico es un aspecto completamente prescindible dentro de las matemática. Las matemáticas se fundamentan en la construcción mental por parte del matemático, de modo que la explicitación de la lógica e incluso el uso del lenguaje para la comunicación de resultados son aspectos accidentales de las matemáticas. A pesar de esto, lo cierto es que la lógica intuicionista atrajo la atención de matemáticos y filósofos y ha sido objeto de un intenso estudio desde muy diversos puntos de vista.[[#6|<sup>6</sup>]]<span id="......">
==Notas==
<span id="1"> [1] La generalización sobre conceptos y extensiones, presente en la obra de Frege, pertenece a lo que hoy en día se califica como lógica ''de orden superior''. Por otra parte, en la actualidad suele entenderse que la lógica de orden superior, es ''algo más'' que lógica. La cuestión de si la identidad (de primer orden) es un concepto lógico es también un asunto controvertido. [[#.|Volver al texto]]
<span id="2"> [2] Ver Smith (2007) para una discusión más precisa. El capítulo 9 trata sobre la clasificación de oraciones aritméticas y el capítulo 28 sobre la distinción de Hilbert entre matemática real e ideal. [[#..|Volver al texto]]
<span id="3"> [3] Existen distintos resultados, todos ellos calificables como ''teoremas de incompletud'', véase Smith capítulo 7 para más detalles en este sentido. En el texto empleamos una caracterización muy intuitiva, procurando no faltar a la verdad. [[#...|Volver al texto]]
<span id="4"> [4] El lógico Gerard Gentzen demostró en 1936 la consistencia de la Aritmética de Peano, aunque este resultado asume formas de razonamiento más fuertes que la aritmética finitaria (Smith 2007, 217-221). [[#....|Volver al texto]]
<span id="5"> [5] This neo-intuitionism considers the falling apart of moments of life into qualitatively different parts, to be reunited only while remaining separated by time as the fundamental phenomenon of the human intellect, passing by abstracting from its emotional content into the fundamental phenomenon of mathematical thinking, the intuition of the bare two- oneness. This intuition of two-oneness, the basal intuition of mathematics, creates not only the numbers one and two, but also all finite ordinal numbers, inasmuch as one of the elements of the two-oneness may be thought of as a new two-oneness, which process may be repeated indefinitely; this gives rise still further to the smallest infinite ordinal number <math>\omega</math>. Finally this basal intuition of mathematics, in which the connected and the separate, the continuous and the discrete are united, gives rise immediately to the intuition of the linear continuum, i. e., of the “between,” which is not exhaustible by the interposition of new units and which therefore can never be thought of as a mere collection of units (Brouwer 1983a, 57). [[#.....|Volver al texto]]
<span id="6"> [6] Ver Priest 2008, c. 6 para una aproximación sencilla a la lógica intuicionista a través de semántica modal de Kripke. [[#......|Volver al texto]]