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donde [[File:3HMQimage090.png]] es un tiempo de referencia independiente de los otros tiempos que aparecen en la expresión, y que puede ser tomado igual a [[File:3HMQimage029.png]]. Como vemos, la aplicación [[File:3HMQimage086.png]] es un mapeo lineal de operadores en el espacio de Hilbert de historias [[File:3HMQimage001bis.png]] a operadores en el espacio Hilbert [[File:1HMQimage013.png]] del sistema. Matemáticamente, [[File:3HMQimage094.png]] (Griffiths 1996, 2761; 2002, 138). En el ejemplo anterior, tomando [[File:3HMQimage069.png]] y [[File:3HMQimage070.png]] tenemos que
[[File:4HMQimage002.png]]
[[File:4HMQimage003.png]]
[[File:4HMQimage004.png]]
La aplicación [[File:3HMQimage086.png]] toma un proyector suma de proyectores de historias, y nos devuelve el operador cadena [[File:3HMQimage084.png]] correspondiente, que es la suma de operadores cadena por separado. Es fácil demostrar, haciendo uso de las propiedades de los operadores de evolución, que [[File:3HMQimage084.png]] se puede expresar como
[[File:4HMQimage009.png|center]] <div align="right">(2.4)</div>
Donde los [[File:4HMQimage011.png]], de acuerdo con la ecuación (1.6), son los proyectores de Heisenberg correspondientes a los proyectores de Schrödinger [[File:2HMQimage093.png]] (es decir, fijos en el tiempo), pero que determinan la descomposición espectral al tiempo [[File:2HMQimage088.png]].
Con el operador cadena se define el peso probabilístico [[File:4HMQimage015.png]] de la historia [[File:4HMQimage016.png]] (Griffiths 1996, 2762; 2002, 139) de la siguiente manera:
[[File:4HMQimage019.png|center]] <div align="right">(2.5)</div>
El peso así definido responde a las propiedades de un producto interno y, en consecuencia, es un número real no negativo, y es cero si y sólo si el operador [[File:3HMQimage084.png]] es cero (Griffiths 1996, 2762; 2002, 139).
Si consideramos en el tiempo [[File:2HMQimage063.png]] un proyector inicial fijo [[File:4HMQimage022.png]], que puede considerarse como el estado (en este caso puro) del sistema en ese tiempo inicial, la familia de historias se podrá escribir [[File:4HMQimage023.png]]; entonces, el peso [[File:4HMQimage015.png]] sobre esa historia adopta la forma
[[File:4HMQimage026.png|center]] <div align="right">(2.6)</div>
Si consideramos ahora el operador [[File:4HMQimage028.png]], con [[File:4HMQimage030.png]], esto es, el operador que representa la historia [[File:4HMQimage016.png]] pero desde el tiempo [[File:4HMQimage032.png]] al tiempo [[File:4HMQimage034.png]], el peso probabilístico sobre se puede escribir como:
[[File:4HMQimage037.png|center]] <div align="right">(2.7)</div>
Ésta es la fórmula para el peso probabilístico de una historia que define Roland Omnès en su formulación de historias consistentes, y la misma puede generalizarse para estados iniciales [[File:4HMQimage039.png]] no necesariamente puros (Omnès 1988, 904; 1992, 344; 1994, 129; 1999, 144-146). El operador [[File:4HMQimage041.png]], que llamaremos ''operador de Omnès'' de la historia [[File:4HMQimage016.png]], no es más que el hermítico conjugado del operador cadena [[File:4HMQimage042.png]], pero sin considerar el tiempo [[File:4HMQimage043.png]]. La ecuación (2.6) formulada por Griffiths es completamente equivalente a la ecuación (2.7) formulada por Omnès. Esta última quizás es más conveniente para justificar la definición del peso sobre las historias, pues si la historia se compone de propiedades de magnitudes todas compatibles entre sí, entonces el operador de Omnès [[File:4HMQimage041.png]] es el proyector correspondiente a la conjunción de las propiedades en la historias, y la ecuación (2.7) se reduce a la regla de Born usual aplicada al proyector de esa conjunción (Omnès 1999, 146).
===La estructura lógica de historias de Omnès===
Trabajar con las historias directamente en términos de los [[File:4HMQimage041.png]] tiene a veces algunas ventajas a la hora de calcular sus probabilidades. Sin embargo, la desventaja es que los [[File:4HMQimage041.png]] no pueden servir como elementos para elaborar un contexto dentro del cual poder operar con conectivos lógicos de modo tal de generar una estructura booleana. Esto es así porque, tal como fueron definidos, en general los [[File:4HMQimage041.png]] ni siquiera son proyectores. Son simplemente secuencias de multiplicaciones ordenadas de los proyectores de Heisenberg que intervienen en la historias, y éstos pueden no conmutar. Los [[File:4HMQimage041.png]] son útiles para calcular probabilidades, pero con ellos perdemos la estructura lógica para formular enunciados que involucren operaciones entre historias.
Para sortear este inconveniente, Omnès define un “''espacio geométrico de historias''” (Omnès 1992, 345; 1994, 156-157; 1999, 141; Vanni 2010, 79). En este espacio, de dimensión igual a la cantidad de tiempos en las historias, cada eje se asocia a un tiempo [[File:2HMQimage088.png]]. En cada uno de esos eje se representa el espectro de la magnitud [[File:4HMQimage048.png]] considerada en ese tiempo, y el eje se divide en intervalos [[File:2HMQimage095.png]], correspondientes a la división del espectro de [[File:4HMQimage048.png]] que determina su espacio muestral asociado a ese tiempo. Con esta construcción geométrica, cada historia dada por el operador [[File:4HMQimage041.png]] queda representada por un bloque elemental [[File:4HMQimage051.png]] de dimensión [[File:4HMQimage052.png]], formado por el producto directo de los intervalos [[File:2HMQimage095.png]], es decir [[File:4HMQimage054.png]], con [[File:4HMQimage055.png]]. Dicha construcción permite definir la estructura lógica de historias en términos de operaciones entre los bloques [[File:4HMQimage051.png]], asociando los conectivos lógicos de conjunción, disyunción y negación a las operaciones habituales de intersección, unión y complemento, respectivamente, entre conjuntos de bloques [[File:4HMQimage051.png]] en el espacio geométrico de historias.
La estructura lógica así definida, en términos de operaciones entre bloques [[File:4HMQimage051.png]] en el espacio geométrico de historias de Omnès, resulta booleana, la cual es completamente equivalente a la que resulta de las operaciones entre los operadores de historias [[File:4HMQimage016.png]] definidos por Griffiths. Cada bloque [[File:4HMQimage051.png]] en el espacio geométrico de historias representa al operador de Omnès [[File:4HMQimage041.png]], y éste se corresponde a su vez con el operador de Griffiths [[File:4HMQimage016.png]].
