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#<math>\mathbb{I}(\forall x A)=1</math>  ssi  <math>\mathbb{I}^{\dagger}(A)=1</math>  para todo  <math>x</math>-variante <math>\mathbb{I}^{\dagger}</math> de <math>\mathbb{I}</math>
#<math>\mathbb{I}(\exists x A)=1</math>  ssi  <math>\mathbb{I}^{\dagger}(A)=1</math>  para al menos un  <math>x</math>-variante <math>\mathbb{I}^{\dagger}</math> de <math>\mathbb{I}</math>
'''Comentario 2.10'''
La cláusula 1 explica cómo toman su referencia los términos compuestos. Así, por ejemplo, si <math>a</math> es interpretado con <math>\mathsf{Plat\acute on}</math> y <math>f</math> con <math>\mathsf{el\; maestro\; de\; ()}</math>, la interpretación de <math>f(a)</math> será <math>\mathsf{S\acute ocrates}</math>.
Las cláusulas 2 y 3 explican cómo toman su valor de verdad las oraciones atómicas. La cláusula 2 se refiere a las oraciones formadas por símbolos de predicado. Una oración de este tipo es verdadera cuando el individuo (o par de individuos) con que se interpreta el término pertenece al conjunto con que se interpreta el predicado. Así, por ejemplo, si <math>\mathbb{I}(R)= \mathsf{... es\; esposa\; de...}</math>, <math>\mathbb{I}(a)= \mathsf{Xantipa}</math> y <math>\mathbb{I}(b)= \mathsf{S\acute ocrates}</math> entonces <math>\mathbb{I}(aRb)=1</math> (dado que <math>\langle\mathsf{Xantipa,\; S\acute ocrates}\rangle \in\; \mathsf{... es\; esposa\; de\;...})</math>.
La cláusula 3 se refiere a oraciones que envuelven el predicado especial de identidad. A diferencia del resto de predicados y relaciones, que pueden tomar distintas extensiones en distintas interpretaciones, la relación de identidad tiene un significado fijo (por eso lo consideramos parte del vocabulario lógico). Empleamos el símbolo <math>\approx</math> para no confundir este predicado de nuestro lenguaje lógico con el símbolo de identidad que empleamos en varias ocasiones en nuestra descripción del lenguaje. En efecto, <math>t\approx u</math> es verdadero exactamente cuando el objeto denotado por <math>t</math> es el mismo objeto que el denotado por <math>u</math>. Así, por ejemplo, si <math>\mathbb{I}(a)= \mathsf{Xantipa}</math>, <math>\mathbb{I}(b)= \mathsf{S\acute ocrates}</math>, y <math>\mathbb{I}(f)= \mathsf{el\; esposo\; de\; ()}</math>, entonces <math>\mathbb{I}(b\approx f(a))=1</math>.
Las cláusulas 4 a 6 explican como toman valores de verdad las oraciones con conectivas lógicas. <math>A\land B</math> es verdadera cuando ambos miembros de la conjunción son verdaderos, etc. Las cláusulas 7 y 8 se refieren a los cuantificadores universal y existencial respectivamente. Un <math>x</math>-variante <math>\mathbb{I}^{\dagger}</math> de una función de interpretación <math>\mathbb{I}</math> es una función que difiere de <math>\mathbb{I}</math> en, a lo sumo, el valor que asigna a la variable <math>x</math>. Si una fórmula <math>A</math> con <math>x</math> como única variable libre es verdadera para todo <math>x</math>-variante, esto significa que la condición expresada por <math>A</math> es satisfecha por todo objeto en <math>\mathbb{U}</math>. La definición puede parecer ampulosa, pero de hecho es necesaria para describir correctamente el valor de verdad de las oraciones cuantificadas (nótese, que una oración del lenguaje puede contener muchos cuantificadores, unos bajo el alcance de otros).
'''Ejemplo 2.11'''
Sea <math>\mathcal{L}</math> el lenguaje de primer orden cuyo vocabulario extralógico consta de dos predicado de un argumento <math>P</math> y <math>Q</math>, un predicado de dos argumentos <math>R</math>, un símbolo de función de un argumento <math>f()</math> y una constante individual <math>c</math>. Sea <math>\mathcal{A}</math> la estructura para <math>\mathcal{L}</math> tal que <math>\mathbb{U}=\{1, 2, 3, 4\},\; \mathbb{I}(P)=\{1, 2\},\; \mathbb{I}(Q)=\{2, 3\}\;\mathbb{I}(R)=\;\leq,\;\mathbb{I}(f)=</math> sucesión salvo que <math>f(4)=1</math> y <math>\mathbb{I}(c)=1</math>. Determine el valor en <math>\mathcal{A}</math> de cada una de las siguientes oraciones:
#<math>\forall x(Px\lor Qx)</math>
#<math>\exists x(Px\land\lnot Qx)</math>
#<math>\forall x (xRf(x))</math>
#<math>\forall x (x\not\approx f(f(f(c)))\supset xRf(x))</math>
#<math>\forall x(Px\supset x\approx c)</math>
#<math>\exists x(Px\land x\approx c)</math>
#<math>\exists x(\lnot Px\land f(x)\approx c)</math>
===Consecuencia lógica===
Dado un lenguaje de primer orden <math>\mathcal{L}</math>, una fórmula <math>A</math> de <math>\mathcal{L}</math> y un conjunto de fórmulas <math>\Gamma</math> de <math>\mathcal{L}</math> diremos que <math>A</math> es una consecuencia lógica de <math>\Gamma</math>, en símbolos <math>\Gamma\vDash A</math> cuando,
<div align="center">
No hay interpretación <math>\langle\mathbb{U}, \mathbb{I}\rangle</math> tal que<math>\qquad\qquad\qquad</math>
<math>\mathbb{I}(B)=1</math> para todo <math>B\in\Gamma</math> y <math>\mathbb{I}(A)=0</math>.
</div>
'''Comentario 2.12'''
Esta definición recoge la idea explicada en la sección 1 según la cual un argumento es válido cuando es imposible que sus premisas sean verdaderas y su conclusión falsa (entendiendo por imposible: no hay interpretación). Una manera equivalente de entender la definición es con la idea de ''necesaria preservación de verdad'': un argumento es válido cuando para toda interpretación del vocabulario no-lógico, si sus premisas son verdaderas, su concusión es también verdadera. Esto es, <math>\Gamma\vDash A</math> cuando,
<div align="center">
Para toda interpretación <math>\langle\mathbb{U}, \mathbb{I}\rangle\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad</math>
Si <math>\mathbb{I}(B)=1</math> para todo <math>B\in\Gamma</math> entonces <math>\mathbb{I}(A)=1</math>.
</div>
En efecto, esta definición es lógicamente equivalente a la anterior (en lógica clásica).
'''Ejemplo 2.13'''
Diga si las siguientes afirmaciones son correctas:
*<math>\forall x(Px\supset Qx), \forall x(Qx\supset Sx)\vDash\forall x(Px\supset Sx)</math>
*<math>\forall x(Px\supset Qx), Pa\vDash Qa</math>
*<math>\forall x(Px\supset Qx)\vDash\exists x Qx</math>
*<math>\forall x(Px\supset Qx), \exists x Px\vDash\exists xQx</math>
*<math>\exists x\forall y Ryx\vDash \forall y\exists x Ryx</math>
*<math>\forall x\exists y Ryx\vDash \exists y\forall x Ryx</math>
*<math>Qa, a\approx b\vDash Qb</math>
*<math>Qa\land\forall x(Px\supset x\approx a)\vDash Pb\supset Qb</math>
