donde, en la llamada notación de Dirac, los [[File:HMQimage025.png]] son operadores ''proyectores'' sobre el subespacio [[File:HMQimage027.png]] de dimensión uno (rectas) generado por el vector [[File:HMQimage029.png]]  (Hughes 1989, 64). El conjunto de los [[File:HMQimage031.png]] forman una base ortonormal del espacio de Hilbert (Ballentine 1990, 9: Sakurai 1994 18-19), y cada vector [[File:HMQimage029.png]] es llamado ''autovector '' de [[File:HMQimage019.png]]. Por otro lado, el conjunto [[File:HMQimage037.png]] es un conjunto de números reales (parametrizados discretamente por el índice [[File:HMQimage041.png]]) llamado ''espectro'' de [[File:HMQimage019.png]], y cada valor [[File:HMQimage046.png]] es llamado ''autovalor'' de [[File:HMQimage019.png]] (Hughes 1989, 42-43; Ballentine 1990, 8; Sakurai 1994, 17-19). A veces también se menciona a los [[File:HMQimage025.png]] como ''autoproyectores'' de [[File:HMQimage019.png]]. Como el conjunto de los [[File:HMQimage031.png]] son ortonormales, los autoproyectores [[File:HMQimage057.png]] correspondientes resultan ser ortogonales: esto significa que [[File:HMQimage059.png]], donde el símbolo [[File:HMQimage063.png]] es igual a 1 si [[File:HMQimage067.png]], y es 0 en caso contrario. Haciendo uso de la expresión de [[File:HMQimage019.png]] (2.1), es muy fácil ver que [[File:HMQimage076.png]] (Sakurai 1994, 17). Así decimos que la magnitud [[File:HMQimage019.png]] toma valor [[File:HMQimage046.png]] sobre el subespacio [[File:HMQimage027.png]] generado por [[File:HMQimage029.png]] porque al aplicar [[File:HMQimage019.png]] sobre [[File:HMQimage029.png]], nos devuelve simplemente el valor [[File:HMQimage046.png]] multiplicado por [[File:HMQimage029.png]]. Así, los distintos valores [[File:HMQimage037.png]] que participan en la descomposición espectral son los posibles valores que puede tomar la magnitud [[File:HMQimage019.png]], los cuales pueden ser corroborados en una medición de dicha magnitud (Hughes 1989, 64). Lo central aquí es que cada posible valor de [[File:HMQimage019.png]] queda naturalmente asociado al subespacio [[File:HMQimage027.png]] y, por lo tanto, al proyector [[File:HMQimage025.png]] que proyecta sobre [[File:HMQimage027.png]]. Debido a esta asociación, las propiedades que asignan un valor, o rango de valores, a la magnitud [[File:HMQimage019.png]] pueden ser representadas por el proyector asociado a ese valor, o rango de valores. Por ejemplo, la propiedad [[File:HMQimage003.png]]"[[File:HMQimage019.png]] con valor igual a 5” se podrá representar por el proyector [[File:HMQimage089.png]]. En cambio, la propiedad [[File:HMQimage007.png]]"[[File:HMQimage019.png]] con valor mayor o igual a 5 y menor o igual que 7”, se representará por el proyector [[File:HMQimage097.png]]. Como hemos dicho, cada proyector se corresponde con un subespacio en el espacio de Hilbert, por lo que también podemos representar cada propiedad como un subespacio. Esto es de hecho lo que en general se hace en la bibliografía. Aquí, sin embargo, orientados a lo que el formalismo de historias cuánticas necesita, buscaremos tratar las propiedades principalmente en términos de proyectores. Entre las distintas propiedades que pueden predicarse, existen dos muy particulares: la ''propiedad universal'', también llamada identidad [[File:HMQimage099.png]], que siempre podrá asignarse al sistema; y la ''propiedad nula'', también llamada cero [[File:HMQimage071.png]], que nunca podrá asignarse al sistema. Identificaremos la propiedad universal [[File:HMQimage099.png]] con el ''proyector identidad'' en el espacio de Hilbert del sistema, que es el operador que, aplicado a cualquier vector, lo deja idéntico. Es muy útil representar este operador por la suma de todos los posibles autoproyectores asociados a una magnitud dada, es decir [[File:HMQimage105.png]] (Ballentine 1990, 10; Sakurai 1994, 19). Sin embargo esa representación no es única; volveremos a esta cuestión más abajo, con la importante noción de espacio muestral. Por otro lado, la propiedad nula se podrá representar por el ''proyector nulo'' del espacio de Hilbert del sistema, es decir por el [[File:HMQimage071.png]] visto como operador, que transforma cualquier vector en  el vector nulo (Hughes 1989, 15). Dentro del espacio de Hilbert se pueden definir tres operaciones básicas entre subespacios, que dan como resultado otro subespacio: la intersección, la suma, y el complemento ortogonal de subespacios (Hughes 1989'','' 190-191; Vanni y Laura 2008; Vanni 2010). Con el conjunto de todos los subespacios del espacio de Hilbert y estas operaciones, queda definida una estructura de propiedades cuánticas, la cual en este caso no resulta booleana (Mittelstaedt 1978, 27; Hughes 1989, 201-206; Bub 1997, 22-30; Vanni 2010).  Como en el caso clásico, es posible identificar clases de propiedades lógicamente equivalentes con proposiciones, y así derivar de la estructura de propiedades una estructura lógica, donde los conectivos conjunción [[File:HMQimage011.png]], disyunción [[File:HMQimage013.png]], y negación [[File:HMQimage015.png]] se corresponden ahora con las operaciones de intersección, suma, y complemento ortogonal, respectivamente. El álgebra de la estructura lógica cuántica resulta no ser booleana. Adicionalmente, no es posible representar una relación de inferencia lógica asociada a la inclusión de subespacios, como uno esperaría de su análogo clásico: debido a la pérdida de características booleanas, en el caso cuántico no es posible definir una implicación compatible con una asignación de verdad consistente (Hughes 1989, 206; Omnès 1994, 185). Bajo esta limitación, muchas veces las inferencias en mecánica cuántica son elaboradas en función de probabilidades extremas [[File:HMQimage071.png]] o [[File:HMQimage065.png]] (Omnès 1994, 157, Omnès 1998, 142). Como estamos interesados en representar a las propiedades en términos de proyectores y no en términos de sus correspondientes subespacios, debemos encontrar qué operaciones entre proyectores corresponden a las operaciones lógicas mencionadas. Antes de proseguir, sin embargo, es necesaria una aclaración respecto de las operaciones posibles entre propiedades incompatibles. En mecánica cuántica, dos magnitudes [[File:HMQimage019.png]] y [[File:HMQimage122.png]] se dicen incompatibles si sus correspondientes operadores no conmutan, esto es, si su conmutador no es nulo (Sakurai 1994, 29). El conmutador entre[[File:HMQimage019.png]] y [[File:HMQimage122.png]] se define como [[File:HMQimage124.png]]. Si dos magnitudes son incompatibles, cumplen una relación de incerteza y, por consiguiente no es posible predicar sus propiedades de valor de modo simultáneo, es decir, como conjunciones (Ballentine 1990, 183; Sakurai 1994, 35). La postura tradicional consiste en sostener que las conjunciones tienen sentido sólo si corresponden a magnitudes compatibles. Esta es la postura adoptada en el formalismo de historias, sosteniendo además que no sólo las conjunciones, sino también las disyunciones tienen sentido sólo si corresponden a magnitudes compatibles. (Griffiths 1998, 1609; Griffiths y Omnès 1999, 28; Griffiths 2003, 1426). Otra postura sin embargo es la de la llamada lógica cuántica (Birkhoff y von Neumann 1936), que considera todas las operaciones bien definidas aun cuando las magnitudes asociadas sean incompatibles. En este caso, la expresión para estas operaciones en términos de proyectores, en particular para la intersección y la suma de subespacios, no es trivial (Mittelstaedt 1978, 20-21; Vanni 2010, 45). Sin embargo, cuando se trata de la conjunción, disyunción, y negación  de propiedades de valor de magnitudes compatibles, entonces las operaciones entre los correspondientes proyectores pueden definirse fácilmente. El operador de la conjunción es simplemente el producto de los operadores, es decir: