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La utilidad de cualquier teoría física consiste en su capacidad de describir las propiedades de los sistemas que estudia, operando con ellas en algún tipo de estructura lógica. Sólo así se podrá entender, explicar y predecir el comportamiento de esos sistemas. Para lograr esto, la teoría debe ser capaz de incorporar elementos formales capaces de representar dichas propiedades en un marco teórico específico.
Cuando hablamos de propiedades de un sistema, aquí nos estamos refiriendo a ''propiedades de valor'' que toman sus magnitudes. Por ejemplo, una magnitud fundamental de cualquier sistema físico es su energía ''E''. Asignar una determinada “propiedad de valor” a la magnitud energía es asignar o establecer un valor, o rango de valores a su energía. Así, ''p''<sub>5</sub>=[[File:HMQimage003.png]]“energía igual a 5 ergios”, ''p''<sub>[5,7[File:HMQimage007.png]]</sub>=“energía entre 5 y 7 ergios”, son ejemplos de propiedades de valor un sistema físico.
La mecánica clásica y la mecánica cuántica poseen diferentes elementos formales, sujetos a diferentes estructuras algebraicas, para representar sus propiedades. Estas diferencias son la base sobre la cual radica gran parte de las dificultades conceptuales encontradas a la hora de compatibilizar ambas teorías. En la física clásica, las propiedades de valor de un sistema pueden representarse por subconjuntos o regiones en el llamado espacio de fases del sistema (Hughes 1989, 58). El estado, por otro lado, se representa con un punto en ese espacio. Una propiedad se verifica en el sistema si el estado, como punto, pertenece a la región que representa la propiedad. Esto determina una particular estructura de propiedades en términos de operaciones entre conjuntos.
En términos lógicos, cada propiedad, o más exactamente, cada clase de propiedades lógicamente equivalentes, se puede identificar con una proposición, la proposición que adjudica la propiedad al sistema (Hughes 1989, 182). Con esta identificación, podemos transformar la estructura de propiedades en una estructura lógica. En el caso clásico esto se logra definiendo los conectivos lógicos de conjunción ∧[[File:HMQimage011.png]], disyunción ∨[[File:HMQimage013.png]], y negación ¬[[File:HMQimage015.png]] en términos de operaciones de intersección, unión y complemento entre conjuntos respectivamente (Hughes 1989, 181-182; Omnès 1999, 101; Vanni 2010, 36). La estructura lógica de propiedades así establecida responde a un algebra booleana, la cual es en esencia el álgebra que establece las operaciones entre conjuntos (Hughes 1989, 178-184; Bub 1997, 15-22; Boole 2009). En este tipo de estructura es posible además establecer una relación de implicación, de suma importancia para los razonamientos lógicos, que es compatible con la relación de inclusión entre conjuntos y permite una asignación de verdad consistente sobre la estructura lógica (Hughes 1989, 202; Omnès 1992, 347; Omnès 1994, 184-185; Bub 1997, 15-20). Sin embargo, esto último y muchas de las características booleanas de la estructura lógica clásica dejan de ser válidas en la mecánica cuántica. Para comprender este punto, es necesario explicar cómo se describen cuánticamente las magnitudes físicas y sus propiedades de valor.
En la mecánica cuántica, las magnitudes físicas se representan mediante operadores hermíticos que actúan sobre vectores en el llamado ''espacio de Hilbert'' H del [[File:HMQimage017.png]] del sistema (Hughes 1989, 63-65; Ballentine 1990, 2-8; Sakurai 1994, 14-16). Aclaramos aquí que, aunque la magnitud no es el objeto que la representa en la teoría, en este caso un operador, en lo que sigue la identificaremos con el operador. Así diremos “magnitud ''A''[[File:HMQimage019.png]]” y escribiremos el operador correspondiente.
Cada espacio de Hilbert H tiene [[File:HMQimage017.png]] tiene ''subespacios'', que son subconjuntos de H que [[File:HMQimage017.png]] que contienen el vector nulo, y además son cerrados ante sumas y multiplicaciones por un escalar (Hughes 1989, 35). Podemos decir que, en mecánica cuántica, las magnitudes físicas toman valores sobre ciertos subespacios en el espacio de Hilbert del sistema. Esto se puede ver al considerar que, debido a la llamada descomposición espectral (Hughes 1989, 50; Ballentine 1990, 10-11), cualquier operador ''A'' [[File:HMQimage019.png]] hermítico en un espacio de Hilbert de dimensión igual a ''d''[[File:HMQimage021.png]] (suponiendo por simplicidad el caso discreto) se puede escribir de la forma
[[File:HMC 1HMQimage023.jpgpng|center]] <div align="right">(2.1)</div>
donde, en la llamada notación de Dirac, los Π<sub>''i''</sub>=|''a<sub>i</sub>''⟩⟨''a<sub>i</sub>''| [[File:HMQimage025.png]] son operadores ''proyectores'' sobre el subespacio ''S''<sub>''i''</sub>[[File:HMQimage027.png]] de dimensión uno (rectas) generado por el vector |''a<sub>i</sub>''⟩ [[File:HMQimage029.png]] (Hughes 1989, 64). El conjunto de los {|''a<sub>i</sub>''⟩} [[File:HMQimage031.png]] forman una base ortonormal del espacio de Hilbert (Ballentine 1990, 9: Sakurai 1994 18-19), y cada vector |''a<sub>i</sub>''⟩ [[File:HMQimage029.png]] es llamado autovector de ''A''[[File:HMQimage019.png]]. Por otro lado, el conjunto {''a<sub>i</sub>''} [[File:HMQimage037.png]] es un conjunto de números reales (parametrizados discretamente por el índice ''i''∈[l,''d''[File:HMQimage041.png]]) llamado ''espectro'' de ''A''[[File:HMQimage019.png]], y cada valor ''a<sub>i</sub>''[[File:HMQimage046.png]] es llamado ''autovalor'' de ''A'' [[File:HMQimage019.png]] (Hughes 1989, 42-43; Ballentine 1990, 8; Sakurai 1994, 17-19). A veces también se menciona a los Π<sub>''i''</sub>=|''a<sub>i</sub>''⟩⟨''a<sub>i</sub>''|[[File:HMQimage025.png]] como ''autoproyectores'' de ''A''[[File:HMQimage019.png]]. Como el conjunto de los {|''a<sub>i</sub>''⟩}[[File:HMQimage031.png]] son ortonormales, los autoproyectores Π<sub>''i''</sub>[[File:HMQimage057.png]] correspondientes resultan ser ortogonales: esto significa que Π<sub>''i''</sub>Π<sub>''i′''</sub> = ''δ<sub>ii′</sub>''Π<sub>''i''</sub>[[File:HMQimage059.png]], donde el símbolo ''δ<sub>ii′</sub>'' [[File:HMQimage063.png]] es igual a 1 si ''i''=''i′''[[File:HMQimage067.png]], y es 0 en caso contrario.