La idea básica que define la equivalencia temporal es la de la identificación entre una propiedad y todas sus traslaciones temporales. Para ello trabajaremos en el marco de Heisenberg, donde los proyectores que representan las propiedades cuánticas evolucionan en el tiempo de acuerdo con la ecuación (1.6). Para ser más precisos, diremos que una propiedad de valor [[File:7HMQimage002.png]], dada a un tiempo [[File:7HMQimage004.png]] y representada cuánticamente por un proyector [[File:7HMQimage005.png]], será equivalente a cada propiedad [[File:7HMQimage008.png]] obtenida de trasladar temporalmente [[File:7HMQimage002.png]] hasta el tiempo [[File:7HMQimage010.png]] y, por lo tanto, representada el proyector [[File:7HMQimage011.png]], donde [[File:7HMQimage014.png]] es el operador de evolución temporal del tiempo [[File:7HMQimage004.png]] al [[File:7HMQimage010.png]]. Esto define pares de propiedad y tiempo [[File:7HMQimage015.png]], y una ''relación de equivalencia'' [[File:7HMQimage018.png]] entre ellos, de modo que  [[File:7HMQimage020.png|center]] <!--div align="right">(3.1)</div> Se puede demostrar que esta relación de equivalencia cumple, reflexividad, transitividad y simetría, como debe cumplir toda relación de equivalencia (Vanni 2010, 57). La identificación de distintos [[File:7HMQimage015.png]], que establece la relación de equivalencia temporal, determina la correspondiente ''clase de equivalencia'', que designaremos como [[File:7HMQimage022.png|center]] Diremos que la propiedad asociada al proyector [[File:7HMQimage005.png]] ''representa'' la clase al tiempo [[File:7HMQimage004.png]], así como [[File:7HMQimage025.png]] ''representa'' la misma clase al tiempo [[File:7HMQimage010.png]]. Cada clase de equivalencia [[File:7HMQimage026.png]] determina una propiedad, que llamaremos “''propiedad de clase''”, la cual es independiente del tiempo ya que incorpora todas las evoluciones posibles de una cierta propiedad a un dado tiempo. En términos físicos, todos los representantes de una clase pueden concebirse esencialmente como la misma propiedad extendida temporalmente. Por supuesto, existirán clases incompatibles que provienen de propiedades incompatibles. Dos clases serán incompatibles si existe un tiempo común en los que sus proyectores representantes no conmutan a ese tiempo. Introducida la noción de clases temporales, lo siguiente será definir los conectivos lógicos habituales entre ellas para lograr establecer una estructura lógica para dichas clases. Aquí consideraremos, al igual que en el formalismo de historias consistentes, que las operaciones entre clases tendrán sentido sólo si tratamos con propiedades compatibles. La idea básica es considerar las operaciones lógicas entre clases como las clases de que tales operaciones definen. Más precisamente, definimos la conjunción, la disyunción y la negación entre propiedades de clases como las correspondientes clases obtenidas de la conjunción, disyunción y negación de las propiedades que son representantes de esas clases ''trasladadas a un tiempo común''. Así, si tenemos dos clases [[File:7HMQimage026.png]] y [[File:7HMQimage029.png]], y tomamos como tiempo común [[File:3HMQimage029.png]], entonces la conjunción entre ellas es dada por [[File:7HMQimage033.png]], la disyunción por [[File:7HMQimage035.png]], y finalmente la negación de una clase, dada por [[File:7HMQimage036.png]], donde hemos considerado [[File:7HMQimage040.png]] y [[File:7HMQimage041.png]] como los proyectores de la disyunción y la conjunción, respectivamente, entre [[File:7HMQimage025.png]] y [[if gte vml File:7HMQimage043.png]], como ya han sido definidos en las ecuaciones (1.2) y (1.3) para el caso de propiedades cuánticas compatibles. El conjunto de todas las clases que se pueden construir a través de la equivalencia temporal, con las operaciones lógicas recién definidas, determinan una estructura lógica de propiedades de clase. Como es de esperar, la estructura de propiedades de clase hereda las características de la estructura de sus propiedades cuánticas representantes a un dado tiempo; por consiguiente, se trata, en general, de una estructura no booleana. En el formalismo de historias consistentes se introdujeron dos nociones muy importantes que aquí volveremos a utilizar. Estamos hablando de la noción de espacio muestral y la de contexto, que ahora buscaremos generalizar en términos de clases. Un espacio muestral de clases de equivalencia estará formado por el conjunto de clases [[File:7HMQimage045.png]] que provienen de propiedades que determinan un espacio muestral a un dado tiempo [[File:2HMQimage065.png]], es decir, cuyos proyectores, a ese tiempo, cumplen [[File:7HMQimage049.png]] y [[File:7HMQimage052.png]]. Las disyunciones a partir de los elementos dentro del espacio muestral de clases determinarán un contexto de clases, también llamado ''contexto generalizado'' (Vanni 2010, 61). El conjunto de clases dentro de un contexto generalizado, con las operaciones consideradas, determina una subestructura booleana. Como es habitual, luego de establecer una estructura lógica de propiedades, se define una noción de probabilidad para esas propiedades. Aquí definimos las probabilidades de propiedades de clase simplemente como aquéllas que se calculan con la regla de Born aplicada a uno de sus representantes, y con el operador de estado considerado al tiempo en el que se elige dicho representante (Vanni 2010, 62). Más explícitamente, si [[File:7HMQimage053.png]] es el operador de estado a un tiempo [[File:7HMQimage010.png]], y [[File:7HMQimage054.png]] es el operador de estado al tiempo [[File:7HMQimage058.png]], entonces la probabilidad para la clase [[File:7HMQimage060.png]] es dada por [[File:7HMQimage062.png|center]] <div align="right">(3.2)</div> Se puede probar que, así definida, esta probabilidad cumple los axiomas de Kolmogorov dentro de un contexto de clases. Con la construcción de la estructura de propiedades de clases temporalmente equivalentes, estamos en condiciones de construir el conjunto de historias contextuales.  ===Estructura de Historias Contextuales=== Consideremos un sistema cuántico, con un espacio de Hilbert [[File:1HMQimage013.png]], al que se quiere describir en términos de historias. Supongamos una secuencia de tiempos ordenada [[File:7HMQimage065.png]], y en cada tiempo [[File:7HMQimage066.png]] consideremos una cierta magnitud física [[File:7HMQimage069.png]] del sistema. En ese tiempo asumimos una particular descomposición proyectiva asociada a la magnitud [[File:7HMQimage069.png]] y representada por un conjunto de proyectores [[File:7HMQimage080.png]] correspondiente al rango de valores [[File:2HMQimage095.png]] del espectro de [[File:7HMQimage069.png]] al tiempo [[File:7HMQimage066.png]]. Por tratarse de un descomposición proyectiva, dichos proyectores cumples las condiciones que define un espacio muestral a ese tiempo [[File:7HMQimage066.png]], es decir [[File:7HMQimage072.png]] y [[File:7HMQimage073.png]], donde [[File:2HMQimage103.png]] es la identidad en el espacio de Hilbert del sistema. Para cada [[File:2HMQimage115.png]], consideremos [[File:7HMQimage080.png]] como el representante al tiempo [[File:7HMQimage066.png]] de la clase [[File:7HMQimage079.png]] obtenida de trasladar temporalmente los [[File:7HMQimage080.png]] desde cada [[File:7HMQimage066.png]], consiguiendo así el conjunto de los proyectores [[File:7HMQimage081.png]]. Si existe un tiempo común [[File:7HMQimage083.png]] en el cual cada uno de los [[File:7HMQimage085.png]] conmutan entre sí, es decir, en el cual  [[File:7HMQimage088.png|center]] <div align="right">(3.3)</div> entonces el conjunto de las clases [[File:7HMQimage079.png]] será compatible, de modo que la conjunción de todas ellas en ese tiempo estará bien definida y dada por [[File:7HMQimage090.png|center]] <div align="right">(3.4)</div> con [[File:7HMQimage092.png]]. El conjunto de los [[File:7HMQimage094.png]] formará un conjunto de clases de propiedades compuestas por la conjunción generada a partir de las propiedades [[File:7HMQimage080.png]] al tiempo [[File:7HMQimage066.png]]. Esta conjunción de clases es la clase de las conjunciones, y su representante al tiempo [[File:7HMQimage083.png]] es dado por [[File:7HMQimage096.png]]. Es fácil demostrar que los [[File:7HMQimage098.png]] así definidos determinan una descomposición de la identidad al tiempo [[File:7HMQimage083.png]], es decir, cumplen [[File:7HMQimage100.png]] y [[File:7HMQimage103.png]], por lo que definen un espacio muestral de clases de conjunciones, el cual generará un contexto de dichas clases (Vanni 2010, 73). Es este contexto de clases que llamaremos ''familia de historias contextuales''. Como vemos, a diferencia de historias consistentes, en el formalismo de historias contextuales cada historia, además de ser considerada una secuencia de propiedades a distintos tiempos, por medio de la definición de clases de propiedades temporalmente equivalentes, puede ser considerada también una conjunción de propiedades a distintos tiempos en una estructura lógica definida para esas clases. Las historias están formadas por conjunciones válidas dentro de una subestructura booleanas, definida por el contexto generado por  esas conjunciones, y que forma el conjunto de historias contextuales. A diferencia del formalismo de historias consistentes, en este caso no fue necesario construir un espacio de Hilbert de historias para definir los operadores de historia, sobre los que posteriormente se definió un peso probabilístico como generalización de la regla de Born. En el caso de las historias contextuales, por tratarse de conjunciones, los operadores de historias [[File:7HMQimage096.png]] son proyectores en el mismo espacio de Hilbert del sistema. Por lo tanto, la probabilidad de una historia puede ser calculada con la regla de Born habitual, que dentro de un contexto cumple los axiomas de Kolmogorov. Así, si [[File:7HMQimage104.png]] es el estado del sistema al tiempo [[File:7HMQimage083.png]] la probabilidad de la historia contextual [[File:7HMQimage107.png]] es simplemente [[File:7HMQimage110.png|center]] <div align="right">(3.5)<v/div> Como vemos, la condición de consistencia en historias consistentes viene a ser reemplazada en historias contextuales por lo que podemos llamar ''condición de conmutatividad'', dada por las ecuaciones (3.3). Cuando los proyectores que representan las propiedades consideradas a distintos tiempos para formar una historia conmutan al ser trasladados a un tiempo común, entonces, mediante conjunciones, con esos proyectores se puede generar un contexto de historias en términos de clases, donde las probabilidades calculadas mediante la regla de Born están bien definidas.  ===El problema de la medición con historias contextuales=== El formalismo de historias contextuales permite describir la lógica detrás del proceso de medición al formular, en términos de historias, los vínculos lógicos entre las propiedades del sistema antes de la medición, y las del aparato luego de la misma (Vanni y Laura 2012). En particular, permite tratar el problema de la medición que hemos presentado en la Sección 3.7 haciendo uso de la probabilidad condicional aplicada a historias de los registros de los aparatos consideradas en mediciones sucesivas a dos tiempos (Vanni 2010, 118; Losada, Vanni y Laura 2015). Supongamos que se desea medir la magnitud [[File:7HMQimage111.png]] de un sistema cuántico [[File:6HMQimage085.png]] por medio de un aparato con variable indicadora [[File:7HMQimage114.png]] y con propiedades de valor representadas por [[File:7HMQimage116.png]]. Supongamos, además, que la interacción que determina esta primera medición se produce durante el tiempo entre [[File:3HMQimage029.png]] y [[File:4HMQimage032.png]] por medio de un operador de evolución [[File:7HMQimage121.png]]. A continuación de esta medición, se mide la variable [[File:7HMQimage122.png]] sobre el mismo sistema, por medio de un aparato con variable indicadora [[File:7HMQimage124.png]] y con propiedades de valor representadas por [[File:7HMQimage127.png]]. Supongamos que la interacción que determina esta segunda medición se produce durante el tiempo entre [[File:4HMQimage032.png]] y [[File:5HMQimage034.png]] por medio de un operador de evolución [[File:7HMQimage131.png]]. Consideramos que, en el tiempo inicial [[File:shape3HMQimage029.png]] antes de las dos mediciones, el sistema se encuentra en una superposición general [[File:7HMQimage133.png]], y los aparatos se encuentran en sus estados de referencia [[File:7HMQimage135.png]] y [[File:7HMQimage137.png]]. Por consiguiente, en ese tiempo inicial, el estado del sistema compuesto formado por [[File:6HMQimage085.png]] más los dos aparatos podrá ser representado mediante el estado [[File:7HMQimage140.png]]. Como hemos visto en la Sección 3.7, es fácil demostrar que la primer medición producirá al tiempo [[File:4HMQimage032.png]] un estado superposición sin valor definido para la variable indicadora del primer aparato, y otra superposición al tiempo [[File:5HMQimage034.png]] sin valor definido para la variable indicadora del segundo aparato (Laura y Vanni 2008, 2385). Es aquí donde se manifiesta el problema de la medición que ya hemos señalado en la Sección 3.7, puesto que la experiencia indica que en cualquier medición siempre se registran valores bien definidos en las variables de los aparatos, los cuales se correlacionan con valores bien definidos en las variables del sistema que dichos aparatos miden. Pues bien, en términos de historias contextuales, indaguemos cuál será la distribución de probabilidad para los resultados del segundo aparato, condicionada respecto de un resultado definido en el segundo. Para ello, consideremos al tiempo [[File:5HMQimage034.png]] las propiedades de valor de la variable indicadora [[File:6HMQimage180.png]], pero incluidas en el espacio de Hilbert del sistema compuesto por [[File:6HMQimage085.png]] y los dos aparatos. Estas propiedades estarán representadas por los proyectores [[File:7HMQimage146.png]], donde [[File:6HMQimage150.png]] es la identidad del espacio de Hilbert del sistema [[File:6HMQimage085.png]], e [[File:7HMQimage150.png]] es la identidad del espacio de Hilbert del primer aparato. Estos proyectores determinan un espacio muestral al tiempo [[File:5HMQimage034.png]], por lo que serán los representantes del espacio muestral de clases formado por [[File:7HMQimage152.png]]. Estas clases pueden considerase historias triviales a un único tiempo, las cuales propagan en el tiempo la información del resultado del segundo aparato, y cuya representación al tiempo [[File:3HMQimage029.png]] es [[File:7HMQimage156.png]]. Por tratarse de historias a un solo tiempo, no requieren cumplir ninguna condición de conmutación. Al tiempo [[File:4HMQimage032.png]], consideremos las propiedades de valor de la variable indicadora [[File:6HMQimage112.png]], también en el espacio de Hilbert del sistema compuesto. Esas propiedades estarán representadas por los proyectores [[File:7HMQimage159.png]], donde [[File:7HMQimage160.png]] es la identidad del espacio de Hilbert del segundo aparato. De forma análoga, estos proyectores determinan un espacio muestral al tiempo [[File:4HMQimage032.png]], por lo que serán los representantes del espacio muestral formado por las clases [[File:7HMQimage164.png]]. También consideramos estas clases como historias triviales a un solo tiempo, cuya representación al tiempo [[File:3HMQimage029.png]] es [[File:7HMQimage166.png]]. Finalmente, definimos historias a dos tiempos formadas de las conjunción de [[File:7HMQimage167.png]] y [[File:7HMQimage170.png]]. De acuerdo con la traslación temporal que determina los operadores de evolución [[File:7HMQimage121.png]] y [[File:7HMQimage131.png]] correspondiente a la primera y segunda medición, es posible demostrar que, en el tiempo común [[File:3HMQimage029.png]], se cumplen las condiciones de conmutación (3.3) entre los representantes de esas clases (Vanni 2010, 119). Es decir, al tiempo [[File:3HMQimage029.png]] se tiene [[File:7HMQimage174.png]]; por lo tanto, se puede definir el conjunto de las historias contextuales de los registros de los aparatos a dos tiempos, dadas por: [[File:7HMQimage176.png|center]] Con todo estos elementos no es complicado demostrar que [[File:7HMQimage178.png|center]] <div align="right">(3.6)</div> donde [[File:7HMQimage182.png]]. La ecuación (3.6) afirma que la distribución de probabilidad para los valores de la variable indicadora del segundo aparato, asumido un resultado definido en el primero, es igual a la probabilidad que se obtendría de aplicar el postulado del colapso sobre el estado del sistema [[File:6HMQimage085.png]] después de la primera medición. Sin hacer uso del postulado del colapso, se ha deducido que después de la primera medición, cualquier probabilidad para una medición posterior puede calcularse con la regla de Born aplicada sobre el estado colapsado [[File:7HMQimage182.png]] del sistema. La deducción presentada se basa en la definición de probabilidad condicional, y podría obtenerse de manera indirecta aun sin apelar a historias contextuales (Laura y Vanni 2008); sin embargo, es importante la deducción que brinda el formalismo de historias contextuales para encuadrar el resultado en el marco de una posible solución del problema de la medición. En general, se recurre a postular el colapso para justificar valores bien definidos en la teoría, lo cual viola la ecuación de Schrödinger. Lo que aquí se ha hecho es lo contrario: hemos demostrado que, asumiendo valores bien definidos en la primera medición, el colapso puede deducirse sin apelar a un postulado impuesto en la teoría. Los valores bien definidos para primera medición se asumieron como parte de una historia contextual a dos tiempos, lo cual está justificado en el formalismo de historias contextuales, porque su premisa fundamental es considerar las historias como elementos de evolución en términos de propiedades bien definidas a distintos tiempos.  ==Comentarios finales== Ya sea en historias consistentes o en historias contextuales, se pone de relieve la peculiar característica de la mecánica cuántica relacionada con la existencia de perspectivas (contextos) incompatibles. Es decir, descripciones de una misma realidad física que no pueden incorporarse, sin inconsistencias lógicas, a una descripción común que las contenga. Cada formalismo se encarga de definir condiciones que determinen una perspectiva válida de descripción, asegurando en ella una estructura lógica clásica y una fórmula para la probabilidad que se comporta adecuadamente en dicha estructura. Cada perspectiva de descripción se enuncia en términos de historias de evolución, que son vistas como secuencias estocásticas de propiedades bien definidas a distintos tiempos y que no necesariamente responden a la ecuación de Schrödinger. Esto permite sortear los problemas que presenta la mecánica cuántica en relación a su ambigüedad entre el determinismo al nivel de los estados y su indeterminismo al nivel de la asignación de valores a las variables. Sobre esta base, se brinda una respuesta al problema de la medición de una manera sencilla y elegante, si agregados de postulados adicionales.   ==Bibliografía== Aharonov, Yakir y Vaidman, Lev. 1991. “Complete description of a quantum system at a given time”. ''Journal of Physics A'' 24: 2315-2328. Ballentine, Leslie. 1990. Quantum Mechanics. London: Editorial Prentice-Hall. Birkhoff, Garrett y von Neumann, John. 1936. “The logic of quantum mechanics”. ''The Annals of Mathematics'' 37: 823-843. Boole, George. 2009. 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