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Como en el caso clásico, es posible identificar clases de propiedades lógicamente equivalentes con proposiciones, y así derivar de la estructura de propiedades una estructura lógica, donde los conectivos conjunción [[File:HMQimage011.png]], disyunción [[File:HMQimage013.png]], y negación [[File:HMQimage015.png]] se corresponden ahora con las operaciones de intersección, suma, y complemento ortogonal, respectivamente. El álgebra de la estructura lógica cuántica resulta no ser booleana. Adicionalmente, no es posible representar una relación de inferencia lógica asociada a la inclusión de subespacios, como uno esperaría de su análogo clásico: debido a la pérdida de características booleanas, en el caso cuántico no es posible definir una implicación compatible con una asignación de verdad consistente (Hughes 1989, 206; Omnès 1994, 185). Bajo esta limitación, muchas veces las inferencias en mecánica cuántica son elaboradas en función de probabilidades extremas [[File:HMQimage071.png]] o [[File:HMQimage065.png]] (Omnès 1994, 157, Omnès 1998, 142).
Como estamos interesados en representar a las propiedades en términos de proyectores y no en términos de sus correspondientes subespacios, debemos encontrar qué operaciones entre proyectores corresponden a las operaciones lógicas mencionadas. Antes de proseguir, sin embargo, es necesaria una aclaración respecto de las operaciones posibles entre propiedades incompatibles. En mecánica cuántica, dos magnitudes [[File:HMQimage019.png]] y [[File:HMQimage122.png]] se dicen incompatibles si sus correspondientes operadores no conmutan, esto es, si su conmutador no es nulo (Sakurai 1994, 29). El conmutador entre[[File:HMQimage019.png]] y [[File:HMQimage122.png]] se define como [[File:HMQimage124.png]]. Si dos magnitudes son incompatibles, cumplen una relación de incerteza y, por consiguiente no es posible predicar sus propiedades de valor de modo simultáneo, es decir, como conjunciones (Ballentine 1990, 183; Sakurai 1994, 35). La postura tradicional consiste en sostener que las conjunciones tienen sentido sólo si corresponden a magnitudes compatibles. Esta es la postura adoptada en el formalismo de historias, sosteniendo además que no sólo las conjunciones, sino también las disyunciones tienen sentido sólo si corresponden a magnitudes compatibles. (Griffiths 1998, 1609; Griffiths y Omnès 1999, 28; Griffiths 2003, 1426). Otra postura sin embargo es la de la llamada lógica cuántica (Birkhoff y von Neumann 1936), que considera todas las operaciones bien definidas aun cuando las magnitudes asociadas sean incompatibles. En este caso, la expresión para estas operaciones en términos de proyectores, en particular para la intersección y la suma de subespacios, no es trivial (Mittelstaedt 1978, 20-21; Vanni 2010, 45).
Sin embargo, cuando se trata de la conjunción, disyunción, y negación de propiedades de valor de magnitudes compatibles, entonces las operaciones entre los correspondientes proyectores pueden definirse fácilmente. El operador de la conjunción es simplemente el producto de los operadores, es decir:
