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5<sup>h</sup> Por un punto exterior a una recta existe más de una paralela
Saccheri desarrolló la geometría resultante de este supuesto y, aunque no llegó a demostrar una contradicción explícita, consideró sus resultados suficientes para demostrar la inconsistencia de 5<sup>h</sup> con los cuatro primeros postulados pues, "tales conclusiones repugnan a la naturaleza de la línea recta" (van Fraassen 1970, 119). La idea de Saccheri parece ser que tales conclusiones eran una especie de ''juicios analíticamente falsos'', es decir, juicios que, aunque no son una contradicción explícita del tipo <math>A\land\lnot A</math>, son falsos en virtud del significado los términos incluidos en el juicio (como ‘Pedro es un soltero casado’). De este modo, tales conclusiones resultarían suficientes para probar que la suposición de 5<sup>h</sup>''''era falsa. El caso de Saccheri es irónicamente famoso, pues murió creyendo haber demostrado el quinto postulado cuando realmente, estuvo más cerca de demostrar su independencia. El trabajo posterior de Lobachevski, Bolyai, Gauss y Riemann sirvió para confirmar la existencia de teorías donde no se cumple el postulado de las paralelas que son tan consistentes como la geometría de Euclides.
Esta situación requirió el desarrollo de métodos de demostración formales, cuya aplicación fuera independiente del significado del ''vocabulario no-lógico'', el vocabulario específico de la teoría, como 'punto' o 'línea recta' en geometría (el ''vocabulario lógico'' incluye expresiones del tipo 'y', 'no' y 'para todo'). El significado del vocabulario específicamente matemático tendría un papel en la formulación de los axiomas de la teoría. Ahora bien, una vez formulados los axiomas, debemos abstraernos del significado del vocabulario no-lógico y emplear los métodos formales de demostración para el desarrollo de la teoría. De esta manera podemos generar teorías matemáticas, siendo la consistencia de la teoría quien nos diga si la teoría tiene significado, y no nuestras intuiciones sobre, por ejemplo, la naturaleza de la línea recta (como sucedió a Saccheri). La idea de considerar las teorías matemáticas como conjuntos de oraciones que se derivan de un conjunto de axiomas a través de métodos formales se llama ''deductivismo''.
