Poincaré expuso algunos ejemplos que, vistos en retrospectiva, pueden ser de utilidad para despertar dudas acerca de la pertinencia de tomar el crecimiento explosivo de efectos pequeños como condición suficiente para obtener una definición de caos. En primer lugar, considérese un cono perfectamente simétrico en perfecto equilibrio sobre su punta, con la fuerza de la gravedad como la única fuerza que actúa sobre él. En ausencia de cualquier fuerza que pudiera afectarlo, el cono mantendrá este equilibrio inestable por siempre. Este equilibrio resulta inestable porque el más pequeño empujón de, por ejemplo, una molécula de aire causará que el cono caiga, pero el cono podría caer en cualquier dirección debido a mínimas diferencias en varias perturbaciones que surgen como consecuencia de las colisiones con diferentes moléculas. En este caso, las variaciones en las causas más ligeras dan lugar a efectos dramáticamente distintos (una violación del axioma de físico de Maxwell). Si se graficara la caída de este cono inestable, observaríamos que a partir de un pequeño conjunto de condiciones iniciales, un elevado número de diferentes trayectorias que se originan en este conjunto comenzarían a divergir rápidamente unas de otras.

Muchos autores consideran una importante marca del caos el que las trayectorias que parten de puntos cercanos diverjan unas de otras exponencialmente rápido. No obstante, es posible que las trayectorias diverjan aún más rápido que exponencialmente. Tómese el ejemplo dado por Poincaré de una molécula dentro de un gas de ''N'' moléculas. Si dicha molécula sufriera la más mínima desviación de su punto de salida inicial y se comparasen sus trayectorias desde estos dos puntos de partida ligeramente distintos, las trayectorias resultantes diferirían en una tasa geométrica, elevada a la ''n'', debido a las ''n ''colisiones subsecuentes, cada una siendo distinta de la esperada si no hubiera habido el mínimo cambio en las condiciones iniciales.

Un mapa discreto es caótico si tiene un exponente global de Lyapunov positivo.

Tal enfoque no parece ser consistente con la visión semántica ilustrada mediante la mecánica clásica. Allí se encuentran varios modelos como el oscilador armónico junto a las hipótesis acerca de cómo estos modelos se aplican a sistemas físicos idealizados, incluyendo especificaciones de las constantes del resorte y su identificación con los términos matemáticos en un modelo, límites para oscilaciones pequeñas, etc. Pero en mecánica clásica existe una clara asociación entre los modelos de una teoría y el espacio de estados definible a través de las variables de esos modelos, con hipótesis adicionales respecto de la relación entre el modelo del espacio de estados y aquel del sistema físico a ser modelado (la suposición del modelo fiel, §1.2.3). Uno puede traducir entre el espacio de estados y los modelos y, en el caso de la mecánica clásica, uno puede leer las leyes involucradas también (e.g. las leyes de movimiento de Newton están codificadas en las posibilidades permitidas por el espacio de estados de la mecánica clásica).

Adicionalmente, existe otro problema potencial que surge de pensar acerca de la suposición del modelo fiel, a saber, ¿cuál es la relación o mapeo entre el modelo y el sistema a estudiar? ¿Hay una relación ‘uno a muchos’ (varios diferentes modelos no-lineales del mismo sistema de estudio o, potencialmente, viceversa) o una relación ‘muchos a muchos’? Para varios problemas de la mecánica clásica –a saber, donde los modelos lineales o las funciones de fuerza son utilizados en la segunda ley de Newton– el mapeo o traslación entre modelo y sistema destino parecen ser directamente ‘uno a uno’. Sin embargo, en contextos de no linealidad, donde uno pudiera estar construyendo un modelo a partir del conjunto de información generado mediante la observación del sistema, existen potencialmente numerosos modelos no lineales que pueden construirse, donde cada modelo es empíricamente tan adecuado al comportamiento del sistema como cualquier otro. ¿Existe realmente un único modelo para cada sistema destino y simplemente no sabemos cuál es el “verdadero” (digamos, por los problemas de la sub-determinación)? O, ¿no existe realmente una relación “uno a uno” entre los modelos matemáticos y los sistemas destino?

Para los modelos lineales resulta sencillo ver la ventaja intuitiva de dichas estrategias graduales. Después de todo, para los sistemas de ecuaciones lineales queda garantizado que de un pequeño cambio en la magnitud de alguna variable se obtiene un cambio proporcional en el resultado del modelo. Así que al realizar modificaciones graduales a la información inicial o al modelo lineal solo puede esperarse cambios proporcionales en los resultados del modelo. Si el modelo lineal es fiel, entonces puede rastrearse desde las mejorías en el desempeño del modelo cuáles de los pequeños ajustes son ‘en la dirección adecuada’ tanto en la información inicial o en el modelo mismo. El calificativo ‘en la dirección adecuada’, articulado desde el supuesto del modelo fiel, significa que la calidad de la información realmente se incrementa o que el modelo, en verdad, deviene más realista (captura más características del sistema de estudio al tiempo que mejora su precisión), y esto queda representado por la mejora monótona del desempeño del modelo con respecto del sistema de estudio.

En el segundo enfoque, mantener la información fija haciendo refinamientos sucesivos en los modelos no lineales tampoco es garantía de que se llegará a una convergencia entre el comportamiento del modelo y el comportamiento del sistema elegido. Con la pérdida de la superposición lineal, cualquier pequeño cambio en el modelo puede conducir a cambios no proporcionales en el comportamiento del modelo tornando ineficiente, nuevamente, la estrategia de convergencia como una instancia confirmatoria del modelo. Incluso si un pequeño refinamiento del modelo, se hiciera en ‘la dirección adecuada’, no hay ninguna garantía de que el modelo no lineal vaya a mejorar monótonamente en la captura del comportamiento del sistema de estudio. El pequeño refinamiento en el modelo puede muy bien conducir a que el comportamiento del modelo diverja del comportamiento del sistema.

# Por lo tanto, la mecánica cuántica podrá afectar los resultados de los sistemas caóticos conduciendo a una violación de la evolución única.

El argumento de la DS, no obstante, no se despliega tan fácilmente como algunos de sus defensores han pensado. Hay algunas dificultades respecto a qué versión de la mecánica cuántica es la adecuada (e.g. la versión de von Neumann, la de Bohm o las teorías de decoherencia), respecto a la naturaleza de la teoría de medición (teorías con colapso vs. teorías sin colapso), y respecto a que la selección del estado inicial que caracteriza el sistema debe llevarse a cabo antes de que uno pueda decir claramente si la evolución se viola o no se viola (Bishop 2008). Por ejemplo, justamente porque los efectos cuánticos pueden influenciar los sistemas macroscópicos caóticos no está garantizado que el determinismo fallará para dichos sistemas. Que las interacciones cuánticas con sistemas macroscópicos no lineales que exhiben DSCI contribuya de manera indeterminista a los resultados de dichos sistemas depende de la pregunta, actualmente indecidible, acerca del indeterminismo en mecánica cuántica y el problema de la medida.

Los atractores extraños son usualmente caracterizados como poseedores de una dimensión no entera o fractal (aunque no todos los atractores tienen una dimensión de tales características.) El tipo de dimensión que usualmente encontramos tanto en la física como en la experiencia cotidiana es entera. Un punto tiene dimensión cero; una línea dimensión uno; un cuadrado dimensión dos, un cubo dimensión tres y así en adelante. Para explicar la generalización de nuestras intuiciones acerca de la dimensión considérese un cuadrado grande. Supóngase ahora que llenamos el cuadrado grande con pequeños cuadrados cada uno con lados de tamaño ε. El número de pequeños cuadrados necesarios para llenar completamente el espacio interior del cuadrado grande es ''N ''(ε). Ahora bien, repítase el proceso de llenado del cuadrado grande con los cuadrados pequeños, pero haciendo cada vez más pequeño el tamaño sus lados ε. En el límite en que ε se aproxima a cero, encontramos que el coeficiente ln''N''(ε)⁄ln(1⁄ε) equivale a dos, que es justo lo que esperaríamos para un cuadrado de dos dimensiones. Se puede imaginar el mismo ejercicio para el llenado de un cubo grande de tres dimensiones (un salón, digamos) con pequeños cubos y en el límite cuando ε se aproxima a cero, habremos arribado a una dimensión de tres. Cuando aplicamos estas generalizaciones a la dimensión de la estructura geométrica de los atractores extraños, lo que encontramos como resultado es un número no entero. Esto significa que si tratamos de aplicar el mismo procedimiento de “llenar” la estructura formada por el atractor extraño con pequeños cuadrados o cubos, en el límite cuando ε tiende a cero el resultado es no entero. Ya sea que uno esté examinando un conjunto no lineal de ecuaciones matemáticas o analizando la información de las series de tiempo a partir de un experimento, la presencia de autosimilitud o de dimensiones no enteras son indicaciones de que el comportamiento caótico del sistema bajo estudio es disipativo (no conservativo) en lugar de hamiltoniano (conservativo).

Por otra parte, todos los modelos caóticos disipativos utilizados para caracterizar algunos de los sistemas del mundo real exhiben atractores extraños con geometría fractal. De modo que parecería que las geometrías fractales en los espacios de estado del modelo caótico no guardan relación alguna con las características prefractales de los sistemas del mundo real. En otras palabras, estas características fractales de muchos de nuestros modelos son claramente falsas para los sistemas de estudio, aunque los modelos todavía pueden ser útiles para ayudar a los científicos a localizar dinámicas interesantes de los sistemas de estudio caracterizados por propiedades prefractales. La visión del realismo científico y la visión de la utilidad separan aquí sus caminos. Al menos varios de los atractores extraños de nuestros modelos juegan el rol de ficciones útiles.

¿Qué tipo de entendimiento se logra mediante las explicaciones del caos? Kellert argumenta que obtenemos (1) predicciones de comportamientos cualitativos en lugar de detalles cuantitativos, (2) mecanismos geométricos en lugar de procesos causales y (3) ciertos patrones en lugar de una necesidad tipo leyes.

Con respecto a (2), las explicaciones del caos no son especies de explicación causal. Esto es decir, que las explicaciones de caos no se centran en, ni revelan, los procesos ni las interacciones que originan las dinámicas; en lugar de esto, revelan características geométricas de larga escala de las dinámicas. Kellert mantiene que los tipos de mecanismos en los que las explicaciones del caos se centran no son causales sino geométricos. Parte de las razones detrás de sus afirmaciones es que observa los recuentos típicos causales de la explicación operando de una manera reductiva: traza los procesos individuales causales y sus interacciones para entender el comportamiento del sistema. Pero las explicaciones del caos, de acuerdo con Kellert, evitan este nivel de detalle, centrándose por otra parte en el comportamiento del sistema como un todo. De hecho las explicaciones del caos tienden a agrupar modelos y sistemas en tanto exhiben patrones similares de comportamiento sin reparar en las diferencias causales subyacentes. Los procesos causales son ignorados; los patrones universales de comportamiento son el foco de atención. Y es la información cualitativa sobre las características geométricas del modelo la que resulta clave para las explicaciones del caos para Kellert.

===Libre albedrío y conciencia===

Una posibilidad alternativa para evitar muchas de las dificultades que exhibe el enfoque de mecánica cuántica+caos es sugerida por la investigación sobre los sistemas “alejados del equilibrio” de Ilya Prigogine y su equipo de Bruselas-Austin (Bishop 2004). Su trabajo pretende ofrecer razones para buscar un tipo distinto de indeterminismo tanto a nivel microscópico como macroscópico.

Permítanme esbozar rápidamente una versión simplificada del enfoque para así explicar por qué los progresos logrados por el grupo de Bruselas-Austin ofrecen una alternativa para investigar las conexiones entre la física, la conciencia y el libre albedrío. Los enfoques convencionales en la física describen sistemas que utilizan las trayectorias de las partículas como elemento explicativo fundamental de sus modelos, lo que significa que el comportamiento del modelo es derivable de las trayectorias de las partículas que componen el modelo. Las ecuaciones que gobiernan el movimiento de estas partículas son reversibles con respecto al tiempo (pueden ir hacia adelante o hacia atrás como en una película). Cuando hay demasiadas partículas involucradas como para hacer viable este tipo de cálculos (como en gases o líquidos), se utilizan procedimientos de promedio de grano grueso para desarrollar un imagen estadística de cómo el sistema se comporta en lugar de enfocarse en el comportamiento de partículas individuales.

Un ''insight'' importante del grupo Bruselas-Austin, al dejar las trayectorias y tomar las distribuciones como elementos fundamentales, es que la explicación también deja atrás un contexto local (el conjunto de trayectorias de partículas) y pasa a un contexto global (distribuciones de un conjunto entero de partículas). Los sistemas que actúan como un todo pueden producir efectos colectivos que no son reducibles a la suma de las trayectorias y subelementos que los conforman (Bishop 2004 y 2008). El cerebro exhibe este tipo de comportamiento colectivo en muchas circunstancias (Engel ''et al. ''1997) y el trabajo de Prigogine y sus colegas nos da una herramienta más para tratar de entender este comportamiento. Más aún, los modelos no lineales fuera de equilibrio también exhiben DSCI, así que hay varias posibilidades en estos enfoques para una descripción dinámica realmente rica de las operaciones cerebrales y los fenómenos cognitivos (e.g. Juarrero 1999). Aunque el enfoque de Bruselas-Austin a la mecánica estadística fuera de equilibrio sigue siendo especulativo y contiene algunas preguntas técnicas abiertas (Bishop 2004), ofrece no solo una alternativa a las exploración de la relación entre la física, la conciencia y el libre albedrío sino que también señala a una posible fuente de indeterminismo que puede ser explorada en las teorías del libre albedrío.

Las dinámicas caóticas y no lineales no son solo áreas ricas para la investigación sino que también plantean varias preguntas de interés filosófico. La mayoría de estas preguntas quedan, sin embargo, en el campo exclusivo de estudio de los filósofos.

Para un sistema de ''n'' dimensiones, existirán, como máximo, ''n'' exponentes de Lyapunov diferentes para un '''''x'''''(0) determinado, y el exponente adecuado es elegido mediante la orientación inicial '''''y'''''(0) ⁄'''''y'''''(0). El límite de tiempo infinito juega un papel importante en este análisis ya que indica que los exponentes de Lyapunov representan cantidades promediadas en el tiempo (lo que significa que el comportamiento transitorio ha decaído). La existencia de este límite es garantizada por el teorema ergódico multiplicativo de Oseledec's (1969), que se sostiene para condiciones suaves. Además, '''''J '''''es una constante física en el espacio para este límite (de otra manera su valor varía en el espacio), y los exponentes de Lyapunov obtenidos de (A5) son entonces los mismos para casi todo valor de '''''x '''''(0). De ahí que a menudo se saque la dependencia a las condiciones inicial en (A5). Estos exponentes son generalmente llamados exponentes globales de Lyapunov.