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[[File:Tabla 3 LM.png|center]]
'''Comentario 2.14'''
Además de caracterizar una lógica ''semánticamente'' nos gustaría disponer de procedimientos formales (o "sintácticos") para establecer demostraciones. Existen sistemas de demostración de muy distinto tipo. La tabla 3 contiene algunas reglas para construir demostraciones. Las reglas son correctas (respecto a la lógica de primer orden) en el sentido de que sólo nos permitirán demostrar argumentos válidos (esto es, <math>\Gamma\vdash A\Longrightarrow \Gamma\vDash A</math>). El conjunto de reglas no es completo, es decir, no podemos demostrar todas las afirmaciones de consecuencia correctas, ya que no contiene, por ejemplo, reglas para los cuantificadores o la identidad. En esta sección queremos solamente ilustrar qué es un sistema de demostraciones.
'''Ejemplo 2.15'''
<math>(A\supset B),\; (B\supset C)\;\vdash\; A\supset C</math>
[[File:Ejemplo 215 LM.png]]
Más ejemplos con éste método de demostraciones en (Hedman 2006, c. 3).
===Propiedades de la lógica de primer orden===
En esta sección describimos cuatro resultados característicos de la lógica clásica de primer orden.
#'''Completud''' Si <math>\Gamma\vDash A</math> entonces <math>\Gamma\vdash A</math>.
#'''Compacidad''' Si <math>\Gamma\vDash A</math> entonces hay un conjunto finito <math>\Gamma^{*}\subseteq\Gamma</math>, tal que <math>\Gamma^{*}\vDash A</math>.
#'''Löwenheim-Skolem ascendente''' Si un conjunto de oraciones <math>\Gamma</math> tiene un modelo infinito, tiene modelos arbitrariamente grandes.
#'''Löwenheim-Skolem descendente''' Si un conjunto de oraciones <math>\Gamma</math> tiene un modelo infinito, tiene un modelo menor o igual que la cardinalidad del lenguaje de <math>\Gamma</math>.
'''Comentario 2.16'''
Que la lógica de primer orden es completa quiere decir que existen sistemas de demostración tales que, no solo nos permiten demostrar un argumento únicamente cuando el argumento es válido (corrección), sino que siempre que un argumento es válido, nuestro sistema nos permitirá construir una demostración.
Corrección y completud son las dos direcciones de la equivalencia,
<div align="center"> <math>\Gamma\vdash A</math> si y sólo si <math>\Gamma\vDash A</math>
</div>
Aunque las relaciones <math>\vDash</math> y <math>\vdash</math> son extensionalmente equivalentes, no son la misma relación. El caso es similar a <math>\mathsf{animal\; con\; riñ\acute on}</math> y <math>\mathsf{animal\; con\; coraz\acute on}</math>, que son propiedades distintas aunque tengan la misma extensión.
De hecho, la demostración de la completud de la lógica de primer orden no es trivial. La prueba más habitual emplea la construcción de Henkin para demostrar que todo conjunto consistente de oraciones tiene un modelo. Que un conjunto de oraciones <math>\Gamma</math> es consistente significa que <math>\Gamma\nvdash A\land\lnot A</math>. Por otra parte, un modelo para <math>\Gamma</math> es una interpretación que hace verdaderas a todas las oraciones en <math>\Gamma</math>. La idea central de la prueba muestra cómo cualquier conjunto consistente <math>\Gamma</math> de oraciones se puede extender a un conjunto <math>\Sigma</math> que es máximamente consistente y que contiene una instancia para cada generalización existencial en <math>\Sigma</math>. A partir de este conjunto es posible construir una interpretación que haga a todas las oraciones en <math>\Sigma</math>, y por tanto en <math>\Gamma</math>, verdaderas. Ver Zalabardo 2002, c. 5 y Hedman 2006, 148-151, para detalles sobre la prueba.
