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Teniendo en cuenta el carácter interdisciplinar de este diccionario, hemos tratado de expresar las ideas centrales de la lógica matemática de un modo accesible. Hemos procurado que el artículo sea auto-contenido (exceptuando quizá este párrafo), aunque alguna familiaridad con la lógica sin duda ayudará a la comprensión del texto. También por este motivo hemos puesto restricciones a los temas tratados. Concretamente, durante todo el artículo adoptaremos de modo habitual un punto de vista semántico. Al tratar la lógica clásica (sección 2) consideraremos solamente lenguajes de primer orden con identidad, con funciones de uno y dos argumentos y predicados de uno y dos argumentos. Este lenguaje es suficiente para ilustrar qué es la lógica de primer orden y para introducir teorías aritméticas de las que hablaremos en la sección 3. Cuando expliquemos algunos teoremas (sub-sección 2.5 y sección 3), nos limitaremos a dilucidar su contenido y a dar una idea general sobre su demostración, aportando las referencias para una demostración detallada. Cuando tratemos las lógicas no-clásicas, nos restringiremos al caso proposicional mencionando únicamente algunos ejemplos que ilustren la distinción, dentro de esta clase de lógicas, entre ''extensión'' y ''alternativa'' a la lógica clásica. La sub-sección 2.5 y la sección 3 son un poco más exigentes desde el punto de vista matemático.
En la sección 1 introduciremos la idea general de consecuencia lógica. De ella se desprenden los distintos apartados que debemos especificar para caracterizar con precisión una lógica (tabla 1). En la sección 2 se desarrolla con cierto detalle qué es la lógica clásica de primer orden, explicando las principales propiedades de esta lógica (sub-sección 2.5). En la sección 3 nos centramos en la matemática como tema de la lógica matemática; particularmente en la estructura de la aritmética (números naturales con la sucesión, suma y multiplicación) y en las posibilidades de representación y axiomatización en un lenguaje de primer orden. La sección 4 trata sobre las lógicas no-clásicas. Veremos un ejemplo concreto de alternativa a la lógica clásica, las lógicas de 3 valores <math>\mathsf{K3}</math> y <math>\mathsf{LP}</math>, y un ejemplo de extensión de la lógica clásica: la lógica modal.
Hemos procurado distinguir los aspectos técnicos de su explicación informal. Para ello, introducimos en primer lugar las definiciones o resultados seguidas de comentarios que clarifican un aspecto de la definición. Los comentarios están ordenados dentro de cada sección: el primer número corresponde a la sección y el segundo a la posición del comentario dentro de la sección.
El argumento es válido porque, aunque su conclusión es falsa y alguna de sus premisas verdaderas, sin embargo, necesariamente si sus premisas fuesen todas verdaderas, la conclusión sería verdadera. O en otras palabras: es imposible que sus premisas sean verdaderas y su conclusión falsa.
Pero qué , ¿qué significa `'imposible' y `'necesario' en este contexto? Significa que no importa cuál sea la interpretación del vocabulario no-lógico, si las premisas son verdaderas, su conclusión es verdadera. Es decir, para comprobar la validez de un argumento debemos, en primer lugar, ''formalizar'' el argumento y, en segundo lugar, comprobar si hay alguna interpretación del vocabulario no-lógico donde las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa. Tomando el ejemplo anterior,
(1) Si <math>A</math> entonces <math>B</math>
Esta definición de consecuencia lógica muestra que para caracterizar una lógica es necesario describir el lenguaje que estamos empleando, separando el vocabulario lógico del vocabulario no-lógico. Además es necesario explicar en qué consiste una interpretación para el vocabulario no-lógico y cómo, dada una interpretación del vocabulario no-lógico, cualquier fórmula del lenguaje tomará también una interpretación.
<div align="center">Tabla 1: Caracterizar una lógica</div>
[[File:Tabla 1 LM.png]]
'''Comentario 2.9'''
Los símbolos de predicado de un argumento se interpretan con conjuntos de individuos, pues la extensión de un predicado es el conjunto de objetos que satisfacen ese predicado. Así el predicado '... es humano' tiene como extensión el conjunto de mujeres y hombres. Los símbolos de predicados de dos argumentos (aka símbolos de relación) se interpretan con conjuntos de ''pares'' de individuos, pues el "objeto" que satisface un símbolo de relación no es un individuo sino un par de individuos. Así, la relación '... es madre de...' es satisfecha por el par <math>\langle\mathsf{María,\; Jes\acute us}\rangle</math> pero no por el par <math>\langle\mathsf{María,\; Jes\acute us,\; María}\rangle</math>.
'''Ejemplo 2.11'''
Sea <math>\mathcal{L}</math> el lenguaje de primer orden cuyo vocabulario extralógico consta de dos predicado predicados de un argumento <math>P</math> y <math>Q</math>, un predicado de dos argumentos <math>R</math>, un símbolo de función de un argumento <math>f()</math> y una constante individual <math>c</math>. Sea <math>\mathcal{A}</math> la estructura para <math>\mathcal{L}</math> tal que <math>\mathbb{U}=\{1, 2, 3, 4\},\; \mathbb{I}(P)=\{1, 2\},\; \mathbb{I}(Q)=\{2, 3\}\;\mathbb{I}(R)=\;\leq,\;\mathbb{I}(f)=</math> sucesión salvo que <math>f(4)=1</math> y <math>\mathbb{I}(c)=1</math>. Determine el valor en <math>\mathcal{A}</math> de cada una de las siguientes oraciones:
#<math>\forall x(Px\lor Qx)</math>
Una teoría, en términos generales, es un conjunto consistente de oraciones. La construcción de Henkin garantiza que cualquier teoría de un lenguaje de primer orden tiene un modelo (una interpretación donde todas las oraciones de la teoría son verdaderas). Los teoremas de Löwenheim-Skolem se refieren al ''tamaño'' de los modelos, donde el tamaño de un modelo <math>\langle\mathbb{U}, \mathbb{I}\rangle</math> es el tamaño de su universo <math>\mathbb{U}</math>.
Un conjunto es una colección de elementos y como tal tiene un determinado tamaño. Cuando un conjunto es finito, su tamaño viene expresado por un número natural. Sin embargo, ningún número natural expresa el tamaño de un conjunto infinito, pues lo característico de los números naturales es situarse a una distancia finita de 0. La idea de ''cardinal'' es la generalización de la noción de tamaño para conjuntos de cualquier tipo. El cardinal infinito más pequeño es el de los números naturales y suele ser representado como <math>\aleph_0</math> (escribiremos <math>|\mathbb{N}|=\aleph_0</math>). Dos conjuntos tienen el mismo cardinal cuando hay una correspondencia biunívoca entre ellos. En este sentido, el conjunto de los números naturales y el conjunto de los números racionales tienen el mismo tamaño, pero el conjunto de los números reales tiene un tamaño mayor (más sobre cardinales en (Zabalardo 2002, c. 6) y (Hedman 2006, 150-163)).
En un lenguaje de primer orden podemos encontrar conjuntos de oraciones que ponen un ''límite por arriba'' al tamaño de sus modelos. Por ejemplo, la oración <math>\forall x\forall y\forall z(x\approx y\lor x\approx z)</math> puede ser verdadera en estructuras que tienen a lo sumo dos elementos. El Teorema de Löwenheim-Skolem ascendente nos dice que un conjunto de oraciones de un lenguaje de primer orden con un modelo infinito no puede poner un límite por arriba a sus modelos. El teorema es una consecuencia directa del Teorema de compacidad (detalles en Zabalardo 2002, 298 y Hedman 2006, 167).