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Teniendo en cuenta el carácter interdisciplinar de este diccionario, hemos tratado de expresar las ideas centrales de la lógica matemática de un modo accesible. Hemos procurado que el artículo sea auto-contenido (exceptuando quizá este párrafo), aunque alguna familiaridad con la lógica sin duda ayudará a la comprensión del texto. También por este motivo hemos puesto restricciones a los temas tratados. Concretamente, durante todo el artículo adoptaremos de modo habitual un punto de vista semántico. Al tratar la lógica clásica (sección 2) consideraremos solamente lenguajes de primer orden con identidad, con funciones de uno y dos argumentos y predicados de uno y dos argumentos. Este lenguaje es suficiente para ilustrar qué es la lógica de primer orden y para introducir teorías aritméticas de las que hablaremos en la sección 3. Cuando expliquemos algunos teoremas (sub-sección 2.5 y sección 3), nos limitaremos a dilucidar su contenido y a dar una idea general sobre su demostración, aportando las referencias para una demostración detallada. Cuando tratemos las lógicas no-clásicas, nos restringiremos al caso proposicional mencionando únicamente algunos ejemplos que ilustren la distinción, dentro de esta clase de lógicas, entre ''extensión'' y ''alternativa'' a la lógica clásica. La sub-sección 2.5 y la sección 3 son un poco más exigentes desde el punto de vista matemático.
En la sección 1 introduciremos la idea general de consecuencia lógica. De ella se desprenden los distintos apartados que debemos especificar para caracterizar con precisión una lógica (tabla 1). En la sección 2 se desarrolla con cierto detalle qué es la lógica clásica de primer orden, explicando las principales propiedades de esta lógica (sub-sección 2.5). En la sección 3 nos centramos en la matemática como tema de la lógica matemática; particularmente en la estructura de la aritmética (números naturales con la sucesión, suma y multiplicación) y en las posibilidades de representación y axiomatización en un lenguaje de primer orden. La sección 4 trata sobre las lógicas no-clásicas. Veremos un ejemplo concreto de alternativa a la lógica clásica, las lógicas de 3 valores <math>\mathsf{K3}</math> y <math>\mathsf{LP}</math>, y un ejemplo de extensión de la lógica clásica: la lógica modal.
Hemos procurado distinguir los aspectos técnicos de su explicación informal. Para ello, introducimos en primer lugar las definiciones o resultados seguidas de comentarios que clarifican un aspecto de la definición. Los comentarios están ordenados dentro de cada sección: el primer número corresponde a la sección y el segundo a la posición del comentario dentro de la sección.
El argumento es válido porque, aunque su conclusión es falsa y alguna de sus premisas verdaderas, sin embargo, necesariamente si sus premisas fuesen todas verdaderas, la conclusión sería verdadera. O en otras palabras: es imposible que sus premisas sean verdaderas y su conclusión falsa.
Pero qué , ¿qué significa `'imposible' y `'necesario' en este contexto? Significa que no importa cuál sea la interpretación del vocabulario no-lógico, si las premisas son verdaderas, su conclusión es verdadera. Es decir, para comprobar la validez de un argumento debemos, en primer lugar, ''formalizar'' el argumento y, en segundo lugar, comprobar si hay alguna interpretación del vocabulario no-lógico donde las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa. Tomando el ejemplo anterior,
(1) Si <math>A</math> entonces <math>B</math>
Esta definición de consecuencia lógica muestra que para caracterizar una lógica es necesario describir el lenguaje que estamos empleando, separando el vocabulario lógico del vocabulario no-lógico. Además es necesario explicar en qué consiste una interpretación para el vocabulario no-lógico y cómo, dada una interpretación del vocabulario no-lógico, cualquier fórmula del lenguaje tomará también una interpretación.
<div align="center">Tabla 1: Caracterizar una lógica</div>
[[File:Tabla 1 LM.png]]
'''Comentario 2.9'''
Los símbolos de predicado de un argumento se interpretan con conjuntos de individuos, pues la extensión de un predicado es el conjunto de objetos que satisfacen ese predicado. Así el predicado '... es humano' tiene como extensión el conjunto de mujeres y hombres. Los símbolos de predicados de dos argumentos (aka símbolos de relación) se interpretan con conjuntos de ''pares'' de individuos, pues el "objeto" que satisface un símbolo de relación no es un individuo sino un par de individuos. Así, la relación '... es madre de...' es satisfecha por el par <math>\langle\mathsf{María,\; Jes\acute us}\rangle</math> pero no por el par <math>\langle\mathsf{María,\; Jes\acute us,\; María}\rangle</math>.
'''Ejemplo 2.11'''
Sea <math>\mathcal{L}</math> el lenguaje de primer orden cuyo vocabulario extralógico consta de dos predicado predicados de un argumento <math>P</math> y <math>Q</math>, un predicado de dos argumentos <math>R</math>, un símbolo de función de un argumento <math>f()</math> y una constante individual <math>c</math>. Sea <math>\mathcal{A}</math> la estructura para <math>\mathcal{L}</math> tal que <math>\mathbb{U}=\{1, 2, 3, 4\},\; \mathbb{I}(P)=\{1, 2\},\; \mathbb{I}(Q)=\{2, 3\}\;\mathbb{I}(R)=\;\leq,\;\mathbb{I}(f)=</math> sucesión salvo que <math>f(4)=1</math> y <math>\mathbb{I}(c)=1</math>. Determine el valor en <math>\mathcal{A}</math> de cada una de las siguientes oraciones:
#<math>\forall x(Px\lor Qx)</math>
Una teoría, en términos generales, es un conjunto consistente de oraciones. La construcción de Henkin garantiza que cualquier teoría de un lenguaje de primer orden tiene un modelo (una interpretación donde todas las oraciones de la teoría son verdaderas). Los teoremas de Löwenheim-Skolem se refieren al ''tamaño'' de los modelos, donde el tamaño de un modelo <math>\langle\mathbb{U}, \mathbb{I}\rangle</math> es el tamaño de su universo <math>\mathbb{U}</math>.
Un conjunto es una colección de elementos y como tal tiene un determinado tamaño. Cuando un conjunto es finito, su tamaño viene expresado por un número natural. Sin embargo, ningún número natural expresa el tamaño de un conjunto infinito, pues lo característico de los números naturales es situarse a una distancia finita de 0. La idea de ''cardinal'' es la generalización de la noción de tamaño para conjuntos de cualquier tipo. El cardinal infinito más pequeño es el de los números naturales y suele ser representado como <math>\aleph_0</math> (escribiremos <math>|\mathbb{N}|=\aleph_0</math>). Dos conjuntos tienen el mismo cardinal cuando hay una correspondencia biunívoca entre ellos. En este sentido, el conjunto de los números naturales y el conjunto de los números racionales tienen el mismo tamaño, pero el conjunto de los números reales tiene un tamaño mayor (más sobre cardinales en (Zabalardo 2002, c. 6) y (Hedman 2006, 150-163)).
En un lenguaje de primer orden podemos encontrar conjuntos de oraciones que ponen un ''límite por arriba'' al tamaño de sus modelos. Por ejemplo, la oración <math>\forall x\forall y\forall z(x\approx y\lor x\approx z)</math> puede ser verdadera en estructuras que tienen a lo sumo dos elementos. El Teorema de Löwenheim-Skolem ascendente nos dice que un conjunto de oraciones de un lenguaje de primer orden con un modelo infinito no puede poner un límite por arriba a sus modelos. El teorema es una consecuencia directa del Teorema de compacidad (detalles en Zabalardo 2002, 298 y Hedman 2006, 167).
[[File:Tabla 6 LM.png|center]]
Esto permitirá, entre otras cosas, que algo sea necesario pero sólo contingentemente.
<div align="center"><math>***</math></div>
Dada una interpretación modal, ésta se extiende a todas las fórmulas del lenguaje de acuerdo con las siguientes cláusulas.
:<math>\mathbb{I}_w(A\land B)=1</math> si y solo si <math>\mathbb{I}_w(A)=\mathbb{I}_w(B)=1</math>
:<math>\mathbb{I}_w(A\lor B)=1</math> si y solo si <math>\mathbb{I}_w(A)=1</math> o <math>\mathbb{I}_w(B)=1</math>
:<math>\mathbb{I}_w(A\supset B)=1</math> si y solo si <math>\mathbb{I}_w(A)=0</math> o <math>\mathbb{I}_w(B)=1</math>
:<math>\mathbb{I}_w(\neg A)=1</math> si y solo si <math>\mathbb{I}_w(A)=0</math>
:<math>\mathbb{I}_w(\Box A)=1</math> si y solo si <math>\forall{w^{\dagger}}</math>(si <math>wRw^{\dagger}</math> entonces <math>\mathbb{I}_{w^{\dagger}}(A)=1)</math>
:<math>\mathbb{I}_w(\Diamond A)=1</math> si y solo si <math>\exists_{w^{\dagger}}(wRw^{\dagger}</math> y <math>\mathbb{I}_{w^{\dagger}}(A)=1)</math>
'''Comentario 4.5'''
Como se apuntó más arriba, las cláusulas muestran que el valor de verdad de una oración no-modal en un mundo <math>w</math>, como <math>A\land B</math>, depende exclusivamente de qué pase con <math>A</math> y <math>B</math> en <math>w</math>. Para que una fórmula de la forma <math>\Diamond A</math> sea verdadera en <math>w</math> debe haber al menos un mundo accesible donde <math>A</math> sea verdadera. Para que <math>\Box A</math> sea verdadera en <math>w</math> no debe haber ningún mundo accesible donde <math>A</math> sea falsa.
<math>A</math> es una consecuencia lógica de <math>\Gamma</math>, escrito <math>\Gamma\vDash A</math>, cuando
<div align="center">No hay interpretación modal <math>\langle W, R, \mathbb{I}\rangle</math> y <math>w\in W</math> tal que
<math>\mathbb{I}_{w}(B)=1</math> para todo <math>B\in\Gamma</math> y <math>\mathbb{I}_{w}(A)=0</math>.
</div>
'''Comentario 4.6'''
Las fórmulas del lenguaje modal son verdaderas o falsas ''en cada mundo posible''. Un contraejemplo a un argumento, por tanto, es una interpretación con un mundo posible donde las premisas son verdaderas y la conclusión falsa. Un argumento es válido cuando no hay contraejemplos. La siguiente inferencia,
(K) <math>\Box (A\supset B)\vDash\Box A\supset\Box B</math>
es válida de acuerdo con las definiciones anteriores.
'''Comentario 4.7'''
La lógica modal que hemos presentado es la más básica de una familia de lógicas conocida como ''lógicas modales normales''. Existen gran cantidad de variaciones de esta lógica que dan lugar a diversos sistemas empleados para representar distintos aspectos del lenguaje como expresiones temporales, condicionales y distintas lecturas de las expresiones modales. Priest (2008) es una comprensiva introducción filosófica a todas estas lógicas (y algunas más).
'''Comentario 4.8'''
Aunque la lógica modal es tan antigua como la lógica de Aristóteles, el origen contemporáneo de la lógica modal se puede situar en la obra de Clarence Irvin Lewis (1883-1964), particularmente en Lewis (1912) y en Lewis (1918). La lógica modal se desarrolló, en términos generales, de modo axiomático hasta la obra de Kripke en los años sesenta, donde se generalizó el uso de la semántica modal conocida ahora como "modelos de Kripke". Merece mención también el trabajo de Arthur Prior sobre la lógica y metafísica del tiempo en Prior (1957) y Prior (1967).
==Lógica, Filosofía y Teología==
La Filosofía y la Teología (sobre todo algunas partes, como la teología sistemática) son disciplinas en las que la argumentación juega un papel central. En este sentido, la Lógica (sea matemática o no) resulta un instrumento imprescindible. En esta sección queremos apuntar algunas direcciones en las que la Lógica matemática, la Filosofía y la Teología se han influido recíprocamente, en muchas ocasiones más allá del papel puramente instrumental.
La Lógica matemática ha encontrado muchas aplicaciones fuera del ámbito filosófico, como las matemáticas, la informática teórica, la ingeniería y la lingüística. Una buena parte de resultados lógicos fundamentales tienen, sin embargo, su origen en cuestiones filosóficas. La ''Conceptografía'' de Frege (''Begriffsschrift'') fue escrita con el propósito de esclarecer la naturaleza de las matemáticas y los teoremas de incompletud de Gödel están ligados al intento de Hilbert de fundamentación de las matemáticas. El estudio de las paradojas de la teoría de conjuntos y las paradojas semánticas dio lugar a desarrollos lógicos como las lógicas multivaloradas y a las teorías axiomáticas de conjuntos. El interés por los condicionales del lenguaje natural y, de manera independiente, consideraciones sobre la semántica y metafísica del tiempo, contribuyeron al nacimiento y desarrollo de la lógica modal contemporánea.
A su vez, los resultados lógicos han tenido impacto en cuestiones filosóficas. La visión positivista de la ciencia del Círculo de Viena, por ejemplo, está ligada a los entonces recientes descubrimientos de la lógica matemática. Los teoremas de Löwenheim-Skolem se han empleado (Putnam 1983) para argumentar en contra del realismo en Filosofía del Lenguaje y Metafísica. El Teorema de Tarski (1936) ha tenido una gran influencia sobre los estándares que debe satisfacer cualquier teoría adecuada sobre la verdad.
La Lógica matemática ha tenido también influencia sobre la Teología, al menos sobre la Teología Filosófica. Tiempo después de la muerte de Kurt Gödel, se publicó una reconstrucción que éste hizo del argumento ontológico. El argumento ontológico de Gödel emplea lógica modal de segundo orden (cuantificación sobre propiedades) y se presenta en forma de demostración a partir de un número de axiomas (si los argumentos de autoridad tienen algún valor, resulta difícil dudar de la validez de este argumento). El argumento ontológico modal, así llamado, es reformulado y defendido de manera notable en Plantinga (1974, c. 10).
El propio concepto de Dios, sobre todo en su concepción clásica, desafía la lógica humana. ¿Cómo debemos entender la impecabilidad, la omnipotencia o la omnisciencia divina? Este tipo de cuestiones son objeto de un intenso debate en la contemporánea ''teología analítica'' que emplea a menudo los métodos de análisis proporcionados por la lógica matemática. En Cobreros (2016), por ejemplo, se aplica la semántica ''superevaluacionista'' para formular de modo preciso la solución eternalista al problema de la presciencia divina y el determinismo. El empleo de la lógica matemática dentro del análisis teológico ha dado lugar, incluso, a debates ''metateológicos''. Concretamente: ¿es posible hablar coherentemente acerca de Dios empleando un lenguaje lógico? (ver Kraal 2011).
La lógica matemática suele tener, al menos aparentemente, un desarrollo menor dentro del estudio de problemas de Teología revelada. Las interacciones fructíferas en las relaciones entre Lógica matemática, Filosofía y Teología natural sugieren que el análisis lógico proporcionado por la Lógica matemática tendrá igualmente influencias positivas sobre los diversos problemas de la Teología revelada.
==Bibliografía==
Cobreros, P. 2013. ''Logic and Paradoxes. Lesson 2: Vagueness''. Universidad de Navarra.
Cobreros, P. 2016. “Supervaluationism and the timeless solution to the foreknowledge problem”. ''Scientia en Fides'' 4: 61–75.
Frege, G. 1879. ''Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens''. Halle: Verlag von Louis Nebert.
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Kraal, A. 2011. “Logic and divine simplicity”. ''Philosophy Compass'' 6: 282–294.
Lewis, C. I. 1912. “Implication and the algebra of logic”. ''Mind'' 21: 522–531.
Lewis, C. I. 1918. ''A survey of symbolic logic''. Vancouver: University of California Press.
Plantinga, A. 1974. ''The Nature of Necessity''. Oxford: Oxford University Press.
Priest, G. 1979. “Logic of paradox”. ''Journal of Philosophical Logic'' 8: 219–241.
Priest, G. 2008. ''An introduction to non-classical logic (2nd ed)''. Cambridge: Cambridge University Press.
Prior, A. N. 1957. ''Time and Modality''. Oxford: Oxford University Press.
Prior, A. N. 1967. ''Past, present and future''. Oxford: Clarendon Press.
Putnam, H. 1983. “Models and reality”. En ''Realism and Reason'', 1-25. Cambridge: Cambridge University Press.
Russell, B. 1923. “Vagueness”. ''Australasian Journal of Philosophy and Psychology'' 1(2): 84-92.
Smith, P. 2007. ''An introduction to Gödel’s Theorems''. Cambridge University Press.
Srivastava, S. 2008. ''A Course in Mathematical Logic''. Berlin: Springer Verlag.
Tarski, A. 1936. “Der wahrheitsbegriff in den formalisierten sprachen”. ''Studia Philosophica'' 1: 261–405.
Zalabardo, J. L. 2002. ''Introducción a la teoría de la lógica''. Madrid: Alianza Editorial.
{{Citar|url = http://dia.austral.edu.ar/Lógica_matemática|cabecera = Cobreros, Pablo. 2017. "Lógica matemática"}}
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DERECHOS RESERVADOS Diccionario Interdisciplinar Austral © Instituto de Filosofía - Universidad Austral - Claudia E. Vanney - 2017.
ISSN: 2524-941X