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Teniendo en cuenta el carácter interdisciplinar de este diccionario, hemos tratado de expresar las ideas centrales de la lógica matemática de un modo accesible. Hemos procurado que el artículo sea auto-contenido (exceptuando quizá este párrafo), aunque alguna familiaridad con la lógica sin duda ayudará a la comprensión del texto. También por este motivo hemos puesto restricciones a los temas tratados. Concretamente, durante todo el artículo adoptaremos de modo habitual un punto de vista semántico. Al tratar la lógica clásica (sección 2) consideraremos solamente lenguajes de primer orden con identidad, con funciones de uno y dos argumentos y predicados de uno y dos argumentos. Este lenguaje es suficiente para ilustrar qué es la lógica de primer orden y para introducir teorías aritméticas de las que hablaremos en la sección 3. Cuando expliquemos algunos teoremas (sub-sección 2.5 y sección 3), nos limitaremos a dilucidar su contenido y a dar una idea general sobre su demostración, aportando las referencias para una demostración detallada. Cuando tratemos las lógicas no-clásicas, nos restringiremos al caso proposicional mencionando únicamente algunos ejemplos que ilustren la distinción, dentro de esta clase de lógicas, entre ''extensión'' y ''alternativa'' a la lógica clásica. La sub-sección 2.5 y la sección 3 son un poco más exigentes desde el punto de vista matemático.
En la sección 1 introduciremos la idea general de consecuencia lógica. De ella se desprenden los distintos apartados que debemos especificar para caracterizar con precisión una lógica (tabla 1). En la sección 2 se desarrolla con cierto detalle qué es la lógica clásica de primer orden, explicando las principales propiedades de esta lógica (sub-sección 2.5). En la sección 3 nos centramos en la matemática como tema de la lógica matemática; particularmente en la estructura de la aritmética (números naturales con la sucesión, suma y multiplicación) y en las posibilidades de representación y axiomatización en un lenguaje de primer orden. La sección 4 trata sobre las lógicas no-clásicas. Veremos un ejemplo concreto de alternativa a la lógica clásica, las lógicas de 3 valores <math>\mathsf{K3}</math> y <math>\mathsf{LP}</math>, y un ejemplo de extensión de la lógica clásica: la lógica modal.
Hemos procurado distinguir los aspectos técnicos de su explicación informal. Para ello, introducimos en primer lugar las definiciones o resultados seguidas de comentarios que clarifican un aspecto de la definición. Los comentarios están ordenados dentro de cada sección: el primer número corresponde a la sección y el segundo a la posición del comentario dentro de la sección.
El argumento es válido porque, aunque su conclusión es falsa y alguna de sus premisas verdaderas, sin embargo, necesariamente si sus premisas fuesen todas verdaderas, la conclusión sería verdadera. O en otras palabras: es imposible que sus premisas sean verdaderas y su conclusión falsa.
Pero qué , ¿qué significa `'imposible' y `'necesario' en este contexto? Significa que no importa cuál sea la interpretación del vocabulario no-lógico, si las premisas son verdaderas, su conclusión es verdadera. Es decir, para comprobar la validez de un argumento debemos, en primer lugar, ''formalizar'' el argumento y, en segundo lugar, comprobar si hay alguna interpretación del vocabulario no-lógico donde las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa. Tomando el ejemplo anterior,
(1) Si <math>A</math> entonces <math>B</math>
Esta definición de consecuencia lógica muestra que para caracterizar una lógica es necesario describir el lenguaje que estamos empleando, separando el vocabulario lógico del vocabulario no-lógico. Además es necesario explicar en qué consiste una interpretación para el vocabulario no-lógico y cómo, dada una interpretación del vocabulario no-lógico, cualquier fórmula del lenguaje tomará también una interpretación.
<div align="center">Tabla 1: Caracterizar una lógica</div>
[[File:Tabla 1 LM.png]]
'''Comentario 2.9'''
Los símbolos de predicado de un argumento se interpretan con conjuntos de individuos, pues la extensión de un predicado es el conjunto de objetos que satisfacen ese predicado. Así el predicado '... es humano' tiene como extensión el conjunto de mujeres y hombres. Los símbolos de predicados de dos argumentos (aka símbolos de relación) se interpretan con conjuntos de ''pares'' de individuos, pues el "objeto" que satisface un símbolo de relación no es un individuo sino un par de individuos. Así, la relación '... es madre de...' es satisfecha por el par <math>\langle\mathsf{María,\; Jes\acute us}\rangle</math> pero no por el par <math>\langle\mathsf{María,\; Jes\acute us,\; María}\rangle</math>.
'''Ejemplo 2.11'''
Sea <math>\mathcal{L}</math> el lenguaje de primer orden cuyo vocabulario extralógico consta de dos predicado predicados de un argumento <math>P</math> y <math>Q</math>, un predicado de dos argumentos <math>R</math>, un símbolo de función de un argumento <math>f()</math> y una constante individual <math>c</math>. Sea <math>\mathcal{A}</math> la estructura para <math>\mathcal{L}</math> tal que <math>\mathbb{U}=\{1, 2, 3, 4\},\; \mathbb{I}(P)=\{1, 2\},\; \mathbb{I}(Q)=\{2, 3\}\;\mathbb{I}(R)=\;\leq,\;\mathbb{I}(f)=</math> sucesión salvo que <math>f(4)=1</math> y <math>\mathbb{I}(c)=1</math>. Determine el valor en <math>\mathcal{A}</math> de cada una de las siguientes oraciones:
#<math>\forall x(Px\lor Qx)</math>
Una teoría, en términos generales, es un conjunto consistente de oraciones. La construcción de Henkin garantiza que cualquier teoría de un lenguaje de primer orden tiene un modelo (una interpretación donde todas las oraciones de la teoría son verdaderas). Los teoremas de Löwenheim-Skolem se refieren al ''tamaño'' de los modelos, donde el tamaño de un modelo <math>\langle\mathbb{U}, \mathbb{I}\rangle</math> es el tamaño de su universo <math>\mathbb{U}</math>.
Un conjunto es una colección de elementos y como tal tiene un determinado tamaño. Cuando un conjunto es finito, su tamaño viene expresado por un número natural. Sin embargo, ningún número natural expresa el tamaño de un conjunto infinito, pues lo característico de los números naturales es situarse a una distancia finita de 0. La idea de ''cardinal'' es la generalización de la noción de tamaño para conjuntos de cualquier tipo. El cardinal infinito más pequeño es el de los números naturales y suele ser representado como <math>\aleph_0</math> (escribiremos <math>|\mathbb{N}|=\aleph_0</math>). Dos conjuntos tienen el mismo cardinal cuando hay una correspondencia biunívoca entre ellos. En este sentido, el conjunto de los números naturales y el conjunto de los números racionales tienen el mismo tamaño, pero el conjunto de los números reales tiene un tamaño mayor (más sobre cardinales en (Zabalardo 2002, c. 6) y (Hedman 2006, 150-163)).
En un lenguaje de primer orden podemos encontrar conjuntos de oraciones que ponen un ''límite por arriba'' al tamaño de sus modelos. Por ejemplo, la oración <math>\forall x\forall y\forall z(x\approx y\lor x\approx z)</math> puede ser verdadera en estructuras que tienen a lo sumo dos elementos. El Teorema de Löwenheim-Skolem ascendente nos dice que un conjunto de oraciones de un lenguaje de primer orden con un modelo infinito no puede poner un límite por arriba a sus modelos. El teorema es una consecuencia directa del Teorema de compacidad (detalles en Zabalardo 2002, 298 y Hedman 2006, 167).
*para cada símbolo de función <math>f</math> de <math>\mathcal{L}</math> de <math>n</math> argumentos, <math>h(f_{\mathcal{A}}[a_1\dots a_n])= f_{\mathcal{B}}(h[a_1]\dots h[a_n])</math>
*para cada símbolo de relación <math>R</math> de <math>\mathcal{L}</math> de <math>m</math> argumentos, <math>\langle a_1\dots a_m\rangle\in R_{\mathcal{A}}</math> ssi <math>\langle h(a_1)\dots h(a_m)\rangle\in R_{\mathcal{B}}</math>.
Se dice que dos estructuras son isomorfas cuando existe un isomorfismo entre ellas. Desde un punto de vista formal, dos estructuras isomorfas son dos copias idénticas. Pueden diferir en aspectos cualitativos (como el tipo de objetos y relaciones que contienen) pero tienen exactamente el mismo número de objetos (cláusula 1) conectados exactamente del mismo modo por funciones en una y otra estructura (cláusula 3) y relaciones con idéntica extensión en cada universo (cláusula 4). Se dice de estructuras isomorfas que son ''elementalmente equivalentes''.
Los lenguajes de primer orden no pueden discriminar entre estructuras isomorfas en el sentido de que cualquier oración de un lenguaje de primer orden que sea verdadera en una estructura <math>\mathcal{A}</math> es también verdadera en toda estructura isomorfa con <math>\mathcal{A}</math>. Se dice que un conjunto de oraciones <math>\Gamma</math> representa una estructura <math>\mathcal{A}</math> ''hasta el isomorfismo'' cuando tiene a <math>\mathcal{A}</math> como modelo y cualquier otra estructura representada por <math>\Gamma</math> es isomorfa con <math>\mathcal{A}</math> (cuando un conjunto de oraciones representa una estructura hasta el isomorfismo se dice que es una ''teoría categórica'') ¿Es posible representar estructuras hasta el isomorfismo?
Si <math>\mathcal{A}</math> es una estructura finita (esto es, si su universo <math>\mathbb{A}</math> es finito) entonces existe un conjunto de oraciones de un lenguaje de primer orden que representa <math>\mathcal{A}</math> hasta el isomorfismo (Zabalardo 2002, 290). Cuando <math>\mathcal{A}</math> es una estructura infinita, la situación es radicalmente distinta. Por los teoremas de Löwenheim-Skolem, cualquier conjunto de oraciones que represente a <math>\mathcal{A}</math> tiene modelos de todas las cardinalidades infinitas mayor o igual que la cardinalidad del lenguaje (naturalmente, si el tamaño del universo de <math>\mathcal{A}</math> es distinto al tamaño del universo de <math>\mathcal{B}</math>, no puede haber una correspondencia, y por tanto isomorfismo, entre estas estructuras). Esto significa ningún conjunto de oraciones de <math>\mathcal{L_A}</math> representa la estructura de la aritmética <math>\mathcal{N}</math> hasta el isomorfismo.
'''Modelos no-estándar de la aritmética'''
Es posible aún realizar una pregunta más modesta acerca de la posibilidad de representación de estructuras infinitas y de <math>\mathcal{N}</math> en particular. Sabemos que si <math>\mathcal{A}</math> es infinita, ninguna teoría que tenga a <math>\mathcal{A}</math> como modelo es categórica. Sin embargo, aún podría suceder que la teoría represente a <math>\mathcal{A}</math> y que cualquier otro modelo ''de la misma cardinalidad que <math>\mathcal{A}</math>'' sea isomorfo con <math>\mathcal{A}</math>. De este modo, aunque una estructura infinita no sea representable hasta el isomorfismo, aún puede ser representable hasta el isomorfismo ''en su potencia''. ¿Es posible representar la estructura de la aritmética <math>\mathcal{N}</math> con oraciones de <math>\mathcal{L_A}</math> hasta el isomorfismo en su potencia?
La respuesta es negativa. Sea <math>Teo(\mathcal{N})</math> el conjunto de todas las oraciones de <math>\mathcal{L_A}</math> que son verdaderas en <math>\mathcal{N}</math>, es decir <math>Teo(\mathcal{N})</math> es '''LA''' teoría de <math>\mathcal{N}</math>. Si algún conjunto de oraciones de <math>\mathcal{L_A}</math> representa a <math>\mathcal{N}</math> hasta el isomorfismo en su potencia, <math>Teo(\mathcal{N})</math> lo hace. En otras palabras: si <math>Teo(\mathcal{N})</math> no representa a <math>\mathcal{N}</math> hasta el isomorfismo en su potencia, ninguna teoría formulada en <math>\mathcal{L_A}</math> lo hace. La imposibilidad de representar a <math>\mathcal{N}</math> hasta el isomorfismo en su potencia consiste en demostrar que <math>Teo(\mathcal{N})</math> tiene modelos de igual cardinalidad que <math>\mathcal{N}</math> pero no isomorfos con <math>\mathcal{N}</math> (estos modelos se llaman ''modelos no-estándar'' de la aritmética).
<div align="center">Tabla 4: Modelos no-estándar</div>
[[File:Tabla 4 LM.png|center]]
Un número natural es un objeto que se sitúa a una distancia finita de cero. La característica más notable de los modelos no-estándar es que su universo contiene elementos que se sitúan a una distancia infinita de cero (de hecho, tiene infinitas galaxias de elementos no-estándar densamente ordenadas con la galaxia estándar como elemento mínimo y sin elemento máximo, ver Zabalardo 2002, 307-311). El motivo por el que la teoría de la aritmética <math>Teo(\mathcal{N})</math> no es capaz de detectar la diferencia entre el modelo estándar y los modelos no-estándar es (en términos muy generales) que un lenguaje de primer orden no es capaz de expresar el concepto de finitud. Este hecho está estrechamente ligado a la compacidad de la lógica de primer orden (ver sección 2.5). La propiedad de compacidad se puede expresar del siguiente modo,
'''Compacidad''' Si todo subconjunto finito de <math>\Gamma</math> tiene un modelo, entonces <math>\Gamma</math> tiene un modelo.
'''Ejercicio''': mostrar que ambas formulaciones son equivalentes.
Consideremos ahora la siguiente lista de oraciones:
:<math>S_{0}</math> Hay un número finito de objetos en el universo
:<math>S_{1}</math> Hay al menos un objeto en el universo
:<math>S_{2}</math> Hay al menos dos objetos en el universo
:<math>S_{3}</math> Hay al menos tres objetos en el universo
::<math>\vdots</math>
Cada subconjunto finito de oraciones de esta lista es verdadero en un universo finito, pero no la lista completa. Hay que notar, además, que todas las oraciones <math>S_i\quad (0<i)</math> se pueden expresar en <math>\mathcal{L_A}</math>. <math>S_{2}</math>, por ejemplo, es <math>\exists x\;\exists y\; (x\;\not\approx\; y)</math>. De modo que <math>S_0</math> no se puede expresar en <math>\mathcal{L_A}</math> o en cualquier otro lenguaje de primer orden.
La noción de ''finitud'' resulta esencial para caracterizar la aritmética; más en particular, resulta esencial para caracterizar la noción de ''número natural''. Un número natural es aquél objeto que puede obtenerse a partir de 0 y de un ''número finito'' de aplicaciones de la función sucesor. A pesar de que hay infinitos números naturales, lo característico de cualquier número natural es ''situarse a una distancia finita'' de 0.
===Incompletud===
En la sección anterior vimos algunas limitaciones a la hora de representar la aritmética a través de un conjunto de oraciones de <math>\mathcal{L_A}</math>. En esta sección se discute sobre la posibilidad de ''axiomatizar'' la teoría de la aritmética. El principal resultado en este sentido es que <math>Teo(\mathcal{N})</math> no es axiomatizable.
Una teoría axiomática es un conjunto de oraciones de un lenguaje lógico (los axiomas) junto con un conjunto de reglas que nos permite construir demostraciones a partir de los axiomas. Para que una teoría sea propiamente axiomática tiene que ser "efectivamente decible" qué fórmulas del lenguaje son demostrables a partir de los axiomas (ver Smith 20017, 22-3). La ''Aritmética de Peano'' es una teoría axiomática en este sentido.
<div align="center">Tabla 5: Aritmética de Peano</div>
[[File:Tabla 5 LM.png|center]]
(1) dice que el 0 no es el sucesor de ningún número. (2) dice que números distintos tienen sucesores distintos. (3) y (4) explican cómo reducir la suma a la sucesión y (5) y (6) hacen lo propio con la multiplicación. (7) no es propiamente un axioma sino un ''esquema'' de axioma. Supongamos que <math>A</math> es una fórmula de <math>\mathcal{L_A}</math> con <math>x</math> como única variable libre y <math>A[x/t]</math> el resultado de sustituir todas las ocurrencias libres de <math>x</math> por <math>t</math>. Entonces (7) puede leerse de esta manera: si el 0 tiene una propiedad <math>A</math> y esta propiedad se hereda a través de la sucesión, entonces todo número tiene la propiedad <math>A</math>. (7) se conoce como ''esquema de inducción''. Dentro de las teorías aritméticas en <math>\mathcal{L_A}</math> que tratan de capturar la esencia de la aritmética, la Aritmética de Peano es un buen candidato.
Se dice que una teoría <math>\mathbf{T}</math> es '''consistente''' cuando no hay ninguna oración <math>A</math> tal que <math>\mathbf{T}\nvdash A\land\lnot A</math>. Se dice que <math>\mathbf{T}</math> es '''completa''' cuando para toda oración <math>A</math> o bien <math>\mathbf{T}\vdash A</math> o <math>\mathbf{T}\vdash\lnot A</math>. En lógica clásica las teorías inconsistentes no son interesantes pues a partir de ellas podemos demostrar ''todas'' las oraciones del lenguaje. Por otra parte, una teoría completa es interesante porque nos da ''un veredicto'' para cada una de las preguntas que podemos formular en su lenguaje. El primer teorema de incompletud establece que si la Aritmética de Peano es consistente, entonces es incompleta.
'''Primer teorema de incompletud'''. Si <math>\mathbf{T}</math> es una teoría aritmética (axiomática) capaz de representar ciertas relaciones y funciones sobre los números naturales entonces, si es <math>\mathbf{T}</math> es consistente, hay una oración <math>G</math> de <math>\mathcal{L_A}</math> tal que <math>\mathbf{T}\nvdash G</math> y <math>\mathbf{T}\nvdash \lnot G</math>.
La demostración de este teorema es laboriosa y seguramente una de las demostraciones en El Libro de Erdös. La Aritmética de Peano expresa propiedades y relaciones sobre los números naturales, pero Gödel demuestra que hay procedimientos para codificar en números naturales afirmaciones acerca de <math>\mathcal{L_A}</math> y de la propia Aritmética de Peano. De este modo, Gödel muestra cómo una teoría que sea capaz de expresar cierta cantidad de aritmética, es capaz de realizar afirmaciones acerca de la propia teoría. Particularmente, contiene una fórmula <math>Prov(x)</math> que es verdadera de los números correspondientes a oraciones demostrables en la Aritmética de Peano. A través de una técnica conocida como ''diagonalización'', muestra que hay una oración <math>G</math> que es verdadera si y sólo si su número correspondiente no está en <math>Prov(x)</math>. El teorema no muestra solo que la Aritmética de Peano es (si consistente) incompleta, sino, que es ''incompletable''. Podríamos añadir la oración de Gödel <math>G</math> como un nuevo axioma para dar lugar a una nueva teoría, <math>\mathbf{AP^1}</math> (si <math>\mathbf{AP}</math> es consistente entonces <math>\mathbf{AP^1}</math> también lo es). El procedimiento de Gödel, sin embargo, nos proporcionaría una nueva oración <math>G_{AP^1}</math> indecidible en <math>\mathbf{AP^1}</math>. Podemos seguir añadiendo axiomas indefinidamente; siempre que la adición dé lugar a una teoría axiomática, podremos encontrar una nueva oración de Gödel para la teoría resultante. Este último hecho muestra que no hay una única oración indecidible en la Aritmética de Peano sino una cantidad infinita de ellas.
El primer teorema de incompletud puede resultar más o menos sorprendente. Lo cierto es que su contrario sí que hubiera resultado sorprendente. El lenguaje de la aritmética es menos inocente de lo que puede parecer a primera vista. Consideremos las siguientes abreviaturas:
*<math>div(x, y)=_{df}\;\exists z\;(x\cdot z\approx y)</math>
*<math>par(x)=_{df}\;\exists y\; (y\not\approx 0 \land y + y\approx x)</math>
*<math>primo(x)=_{df}\;\forall z\;(div(z, x)\supset z\approx 1\lor z\approx x)\land x\not\approx 1</math>
*<math>y>x =_{df}\;\exists z\;(x+z\approx y\land z\not\approx 0)</math>
<math>div(x, y)</math> es verdadera de dos números <math>x</math> e <math>y</math> exactamente cuando <math>y</math> es divisible por <math>x</math>. De modo similar, las siguientes fórmulas expresan las propiedades de ser par, ser primo y ser menor que.
(CG) <math>\forall x((par(x)\land x>2)\supset\exists y\exists z((primo(y)\land primo(z))\land y+z\approx x))</math>
No sabemos si la Conjetura de Goldbach es verdadera o falsa, pero si la aritmética fuese axiomatizable, éste y una gran cantidad de problemas que han desafiado las mentes más brillantes durante siglos podrían resolverse de manera mecánica.
'''Segundo teorema de incompletud'''. Si AP es consistente entonces no puede demostrar la fórmula <math>\mathsf{cons_{AP}}</math> que dice que AP es consistente.
==Lógicas no-clásicas==
Se entiende por 'lógica clásica' la lógica de primer orden desarrollada en Frege (1879) e introducida en la sección anterior. Desde los inicios, sin embargo, se cuestionó que la lógica clásica fuera adecuada o suficiente para caracterizar diversos aspectos relacionados con el lenguaje natural, la naturaleza de determinados conceptos e incluso la naturaleza última del mundo. Así, por ejemplo, se cuestionó que el condicional de la lógica clásica recogiera el significado de los condicionales del lenguaje natural (Lewis 1912), que la lógica clásica fuera adecuada para representar el significado de las expresiones vagas (Russell 1923), o compatible con la suposición de que el futuro está abierto (Lukasiewicz 1920). Existe una gran cantidad de lógicas que caen bajo el rótulo de lógicas no-clásicas; en esta sección presentaremos solo dos ejemplos: la lógica modal y la lógica de tres valores.
Hay al menos dos sentidos en los que una lógica puede ser ''no-clásica'': por ser una ''alternativa'' a la lógica clásica o por ser una ''extensión'' de la lógica clásica. Una alternativa a la lógica clásica es una lógica que emplea el mismo lenguaje que la lógica clásica pero que discrepa con la lógica clásica sobre qué argumentos son válidos (típicamente, rechaza la validez de algunos argumentos clásicamente válidos). Una extensión de la lógica clásica es una lógica que emplea un lenguaje más amplio que la lógica clásica de manera que coincide con la lógica clásica para aquellos argumentos que emplean el lenguaje clásico pero mantiene que hay más expresiones lógicas y, por tanto, más argumentos válidos en el nuevo lenguaje.
===Alternativas a la lógica clásica: tres valores===
El lenguaje es igual al de la lógica clásica aunque en esta ocasión nos centraremos en el lenguaje proposicional. Contaremos, por tanto, con un conjunto enumerable de variables proposicionales <math>Var</math>: <math>\{p, q, r, \dots\}</math> como vocabulario no-lógico, las constantes lógicas clásicas: <math>\lnot, \land, \lor, \supset, \equiv</math> y dos paréntesis: '<math>(</math>' y '<math>)</math>'.
Una interpretación clásica para el lenguaje proposicional es una asignación de valores de verdad, verdadero o falso y no ambos, a cada una de las variables del lenguaje. En la semántica de tres valores, una interpretación es una asignación de valores de verdad, verdadero, falso o intermedio a las variables. Es decir, una función del conjunto de variables al conjunto de tres valores de verdad: <math>\mathbb{I}\;:\;Var\longrightarrow\{0, \frac{1}{2}, 1\}</math>.
Dada una interpretación de las variables, ésta se extiende a todas las fórmulas del lenguaje de acuerdo a las siguientes cláusulas:
:<math>\mathbb{I}(A\land B)= min(\mathbb{I}(A), \mathbb{I}(B))</math>
:<math>\mathbb{I}(A\lor B)= max(\mathbb{I}(A), \mathbb{I}(B))</math>
:<math>\mathbb{I}(\lnot A)=1 - \mathbb{I}(A)</math>
:<math>\mathbb{I}(A\supset B)= max(1 - \mathbb{I}(A), \mathbb{I}(B))</math>
'''Comentario 4.1'''
La semántica de tres valores difiere de la semántica clásica solamente en incluir un tercer valor: <math>\frac12</math>. Una vez que ampliamos el número de valores de verdad hay que explicar cómo este nuevo modo de interpretar se extiende a todas las fórmulas del lenguaje. Las cláusulas señaladas más arriba se conocen como ''esquema de Kleene fuerte''. Existen otros modos de extender una interpretación, pero éste es quizá el más natural. La conjunción entre <math>A</math> y <math>B</math> toma como valor el mínimo entre los valores de <math>A</math> y <math>B</math>. Por ejemplo, si <math>\mathbb{I}(A)=1</math> y <math>\mathbb{I}(B)=\frac12</math> entonces <math>\mathbb{I}(A\land B)=\frac12</math>. Nótese, que la conjunción funciona al modo clásico para los valores clásicos. De modo similar, la disyunción de <math>A</math> y <math>B</math> toma el máximo de los valores entre <math>A</math> y <math>B</math>. La negación conecta el valor 1 con el valor 0 y el valor 0 con el valor 1 (igual que en el caso clásico) pero conecta el valor <math>\frac12</math> con él mismo. La definición del condicional se pueden entender en términos de la disyunción y negación, ya que <math>A\supset B;\equiv\;\lnot A\lor B</math>.
<math>A</math> es una consecuencia lógica de <math>\Gamma</math> en <math>\mathsf{LP}</math>, en símbolos <math>\Gamma\vDash_{\mathsf{LP}} A</math> cuando,
<div align="center">
No hay interpretación <math>\mathbb{I}</math> tal que<math>\qquad\qquad\qquad</math>
<math>\mathbb{I}(B)>0</math> para todo <math>B\in\Gamma</math> y <math>\mathbb{I}(A)=0</math>.
</div>
<math>A</math> es una consecuencia lógica de <math>\Gamma</math> en <math>\mathsf{K3}</math>, en símbolos <math>\Gamma\vDash_{\mathsf{K3}} A</math> cuando,
<div align="center">
No hay interpretación <math>\mathbb{I}</math> tal que<math>\qquad\qquad\qquad</math>
<math>\mathbb{I}(B)=1</math> para todo <math>B\in\Gamma</math> y <math>\mathbb{I}(A)<1</math>.
</div>
'''Comentario 4.2'''
El valor 1 es un modo de ser verdadero y el valor 0 un modo de ser falso, pero ¿cómo debemos leer el valor <math>\frac12</math>? Si <math>\frac12</math> es un modo de ser verdadero, entonces hay oraciones que son exclusivamente verdaderas (valor 1), exclusivamente falsas (valor 0) y tanto verdaderas como falsas (valor <math>\frac12</math>). Si <math>\frac12</math> es un modo de '''no''' ser verdadero, entonces hay oraciones que son verdaderas (valor 1), otras son falsas (valor 0) y otras que no son ni verdaderas ni falsas (valor <math>\frac12</math>). La lógica <math>\mathsf{LP}</math> se corresponde con la primera interpretación del valor <math>\frac12</math> y da lugar a una lógica ''paraconsistente'' en el sentido de que de una contradicción no se sigue cualquier cosa,
<math>A\land\lnot A\not\vDash_{\mathsf{LP}} B</math>
La lógica <math>\mathsf{K3}</math> se corresponde con la segunda interpretación del valor <math>\frac12</math> y da lugar a una lógica ''paracompleta'' en el sentido de que de la ley de tercero excluso no se sigue de cualquier cosa,
<math>B\not\vDash_{\mathsf{K3}} A\lor\lnot A</math>
La lógica <math>\mathsf{K3}</math> es empleada por Kleene (1952) en el contexto de su teoría de funciones recursivas parciales. La lógica <math>\mathsf{LP}</math> es empleada por Priest (1979) para la paradoja del mentiroso y la paradoja de Russell y defendida desde entonces por Priest en multitud de trabajos. Ver Cobreros (2013) para una introducción a estas lógicas, en relación al problema de la vaguedad.
===Extensiones de la lógica clásica: lógica modal===
El lenguaje de la lógica modal incluye, además de las variables proposicionales y las conectivas clásicas, los operadores modales '<math>\Box</math>' y '<math>\Diamond</math>' que pueden leerse informalmente como 'es necesario que' y 'es posible que'. Las fórmulas del lenguaje modal tienen este aspecto:
<math>p\qquad\Box\lnot p\qquad \lnot\Box p\land\lnot\Box\lnot p\qquad\lnot\Box(p\supset\Diamond(\lnot q\land\Box s))</math>
Una interpretación modal (un ''modelo de Kripke'') para el lenguaje anterior es una estructura <math>\langle W, R, \mathbb{I}\rangle</math> donde <math>W</math> es un conjunto no-vacío (de "mundos posibles"), <math>R</math> es una relación en <math>W</math> y <math>\mathbb{I}</math> una función que asigna valores de verdad a las variables en cada mundo posible (más formalmente: <math>\mathbb{I}</math> es una función <math>Var\times W\longrightarrow\{1, 0\}</math>). Escribiremos <math>\mathbb{I}_{w}(p)=1</math> para decir que la variable <math>p</math> toma el valor 1 en el mundo <math>w</math>.
'''Comentario 4.3'''
Una interpretación clásica es una asignación de valores de verdad a las variables proposicionales. Esta información, sin embargo, no es suficiente para interpretar las expresiones modales pues el valor de verdad de una oración modal no depende (al menos exclusivamente) del valor de verdad de las oraciones que la componen. Considere el caso,
(1) Wittgenstein es futbolista <math>\quad\mathcal{X}</math>
(2) Wittgenstein no es humano <math>\quad\mathcal{X}</math>
Ambas proposiciones son falsas. Por otra parte (dejando de lado cuestiones temporales) las proposiciones,
(<math>\Diamond</math>1) Es posible que Wittgenstein sea futbolista <math>\quad\checkmark</math>
(<math>\Diamond</math>2) Es posible que Wittgenstein no sea humano <math>\quad\mathcal{X}</math>
tienen presumiblemente distinto valor de verdad (pues ser humano, a diferencia de ser futbolista, es una propiedad esencial).
En la semántica modal, las oraciones del lenguaje modal son verdaderas o falsas ''en cada mundo posible''. El valor de verdad de una oración no-modal en un mundo <math>w</math> dependerá directamente del valor de verdad de las oraciones que la componen '''en <math>w</math>'''. El valor de verdad de una oración modal, por el contrario, dependerá no sólo del valor de verdad de las oraciones en <math>w</math> sino también del valor de verdad de las oraciones en mundos accesibles desde <math>w</math>.
'''Comentario 4.4'''
La relación <math>R</math> de "accesibilidad" entre mundos posibles sirve para representar la idea de posibilidad relativa. En una misma interpretación puede haber mundos <math>w, w^{\dagger}</math> y <math>w^{\dagger\dagger}</math> tales que <math>w^{\dagger}</math> es una posibilidad relativa a <math>w</math> y <math>w^{\dagger\dagger}</math> una posibilidad relativa a <math>w^{\dagger}</math> pero <math>w^{\dagger\dagger}</math> no es una posibilidad relativa a <math>w</math>. En forma de gráfico,
<div align="center">Tabla 6: Posibilidad relativa</div>
[[File:Tabla 6 LM.png|center]]
Esto permitirá, entre otras cosas, que algo sea necesario pero sólo contingentemente.
<div align="center"><math>***</math></div>
Dada una interpretación modal, ésta se extiende a todas las fórmulas del lenguaje de acuerdo con las siguientes cláusulas.
:<math>\mathbb{I}_w(A\land B)=1</math> si y solo si <math>\mathbb{I}_w(A)=\mathbb{I}_w(B)=1</math>
:<math>\mathbb{I}_w(A\lor B)=1</math> si y solo si <math>\mathbb{I}_w(A)=1</math> o <math>\mathbb{I}_w(B)=1</math>
:<math>\mathbb{I}_w(A\supset B)=1</math> si y solo si <math>\mathbb{I}_w(A)=0</math> o <math>\mathbb{I}_w(B)=1</math>
:<math>\mathbb{I}_w(\neg A)=1</math> si y solo si <math>\mathbb{I}_w(A)=0</math>
:<math>\mathbb{I}_w(\Box A)=1</math> si y solo si <math>\forall{w^{\dagger}}</math>(si <math>wRw^{\dagger}</math> entonces <math>\mathbb{I}_{w^{\dagger}}(A)=1)</math>
:<math>\mathbb{I}_w(\Diamond A)=1</math> si y solo si <math>\exists_{w^{\dagger}}(wRw^{\dagger}</math> y <math>\mathbb{I}_{w^{\dagger}}(A)=1)</math>
'''Comentario 4.5'''
Como se apuntó más arriba, las cláusulas muestran que el valor de verdad de una oración no-modal en un mundo <math>w</math>, como <math>A\land B</math>, depende exclusivamente de qué pase con <math>A</math> y <math>B</math> en <math>w</math>. Para que una fórmula de la forma <math>\Diamond A</math> sea verdadera en <math>w</math> debe haber al menos un mundo accesible donde <math>A</math> sea verdadera. Para que <math>\Box A</math> sea verdadera en <math>w</math> no debe haber ningún mundo accesible donde <math>A</math> sea falsa.
<math>A</math> es una consecuencia lógica de <math>\Gamma</math>, escrito <math>\Gamma\vDash A</math>, cuando
<div align="center">No hay interpretación modal <math>\langle W, R, \mathbb{I}\rangle</math> y <math>w\in W</math> tal que
<math>\mathbb{I}_{w}(B)=1</math> para todo <math>B\in\Gamma</math> y <math>\mathbb{I}_{w}(A)=0</math>.
</div>
'''Comentario 4.6'''
Las fórmulas del lenguaje modal son verdaderas o falsas ''en cada mundo posible''. Un contraejemplo a un argumento, por tanto, es una interpretación con un mundo posible donde las premisas son verdaderas y la conclusión falsa. Un argumento es válido cuando no hay contraejemplos. La siguiente inferencia,
(K) <math>\Box (A\supset B)\vDash\Box A\supset\Box B</math>
es válida de acuerdo con las definiciones anteriores.
'''Comentario 4.7'''
La lógica modal que hemos presentado es la más básica de una familia de lógicas conocida como ''lógicas modales normales''. Existen gran cantidad de variaciones de esta lógica que dan lugar a diversos sistemas empleados para representar distintos aspectos del lenguaje como expresiones temporales, condicionales y distintas lecturas de las expresiones modales. Priest (2008) es una comprensiva introducción filosófica a todas estas lógicas (y algunas más).
'''Comentario 4.8'''
Aunque la lógica modal es tan antigua como la lógica de Aristóteles, el origen contemporáneo de la lógica modal se puede situar en la obra de Clarence Irvin Lewis (1883-1964), particularmente en Lewis (1912) y en Lewis (1918). La lógica modal se desarrolló, en términos generales, de modo axiomático hasta la obra de Kripke en los años sesenta, donde se generalizó el uso de la semántica modal conocida ahora como "modelos de Kripke". Merece mención también el trabajo de Arthur Prior sobre la lógica y metafísica del tiempo en Prior (1957) y Prior (1967).
==Lógica, Filosofía y Teología==
La Filosofía y la Teología (sobre todo algunas partes, como la teología sistemática) son disciplinas en las que la argumentación juega un papel central. En este sentido, la Lógica (sea matemática o no) resulta un instrumento imprescindible. En esta sección queremos apuntar algunas direcciones en las que la Lógica matemática, la Filosofía y la Teología se han influido recíprocamente, en muchas ocasiones más allá del papel puramente instrumental.
La Lógica matemática ha encontrado muchas aplicaciones fuera del ámbito filosófico, como las matemáticas, la informática teórica, la ingeniería y la lingüística. Una buena parte de resultados lógicos fundamentales tienen, sin embargo, su origen en cuestiones filosóficas. La ''Conceptografía'' de Frege (''Begriffsschrift'') fue escrita con el propósito de esclarecer la naturaleza de las matemáticas y los teoremas de incompletud de Gödel están ligados al intento de Hilbert de fundamentación de las matemáticas. El estudio de las paradojas de la teoría de conjuntos y las paradojas semánticas dio lugar a desarrollos lógicos como las lógicas multivaloradas y a las teorías axiomáticas de conjuntos. El interés por los condicionales del lenguaje natural y, de manera independiente, consideraciones sobre la semántica y metafísica del tiempo, contribuyeron al nacimiento y desarrollo de la lógica modal contemporánea.
A su vez, los resultados lógicos han tenido impacto en cuestiones filosóficas. La visión positivista de la ciencia del Círculo de Viena, por ejemplo, está ligada a los entonces recientes descubrimientos de la lógica matemática. Los teoremas de Löwenheim-Skolem se han empleado (Putnam 1983) para argumentar en contra del realismo en Filosofía del Lenguaje y Metafísica. El Teorema de Tarski (1936) ha tenido una gran influencia sobre los estándares que debe satisfacer cualquier teoría adecuada sobre la verdad.
La Lógica matemática ha tenido también influencia sobre la Teología, al menos sobre la Teología Filosófica. Tiempo después de la muerte de Kurt Gödel, se publicó una reconstrucción que éste hizo del argumento ontológico. El argumento ontológico de Gödel emplea lógica modal de segundo orden (cuantificación sobre propiedades) y se presenta en forma de demostración a partir de un número de axiomas (si los argumentos de autoridad tienen algún valor, resulta difícil dudar de la validez de este argumento). El argumento ontológico modal, así llamado, es reformulado y defendido de manera notable en Plantinga (1974, c. 10).
El propio concepto de Dios, sobre todo en su concepción clásica, desafía la lógica humana. ¿Cómo debemos entender la impecabilidad, la omnipotencia o la omnisciencia divina? Este tipo de cuestiones son objeto de un intenso debate en la contemporánea ''teología analítica'' que emplea a menudo los métodos de análisis proporcionados por la lógica matemática. En Cobreros (2016), por ejemplo, se aplica la semántica ''superevaluacionista'' para formular de modo preciso la solución eternalista al problema de la presciencia divina y el determinismo. El empleo de la lógica matemática dentro del análisis teológico ha dado lugar, incluso, a debates ''metateológicos''. Concretamente: ¿es posible hablar coherentemente acerca de Dios empleando un lenguaje lógico? (ver Kraal 2011).
La lógica matemática suele tener, al menos aparentemente, un desarrollo menor dentro del estudio de problemas de Teología revelada. Las interacciones fructíferas en las relaciones entre Lógica matemática, Filosofía y Teología natural sugieren que el análisis lógico proporcionado por la Lógica matemática tendrá igualmente influencias positivas sobre los diversos problemas de la Teología revelada.
==Bibliografía==
Cobreros, P. 2013. ''Logic and Paradoxes. Lesson 2: Vagueness''. Universidad de Navarra.
Cobreros, P. 2016. “Supervaluationism and the timeless solution to the foreknowledge problem”. ''Scientia en Fides'' 4: 61–75.
Frege, G. 1879. ''Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens''. Halle: Verlag von Louis Nebert.
Hedman, S. 2006. ''A First Course in Logic''. Oxford: Oxford University Press.
Hughes, G. y Cresswell, M. 1996. ''A New Introduction to Modal Logic''. London: Routledge.
Kleene, S. 1952. ''Introduction to Metamathematics''. El Cerrito, CA: D. Van Nostrand Company Inc.
Kraal, A. 2011. “Logic and divine simplicity”. ''Philosophy Compass'' 6: 282–294.
Lewis, C. I. 1912. “Implication and the algebra of logic”. ''Mind'' 21: 522–531.
Lewis, C. I. 1918. ''A survey of symbolic logic''. Vancouver: University of California Press.
Plantinga, A. 1974. ''The Nature of Necessity''. Oxford: Oxford University Press.
Priest, G. 1979. “Logic of paradox”. ''Journal of Philosophical Logic'' 8: 219–241.
Priest, G. 2008. ''An introduction to non-classical logic (2nd ed)''. Cambridge: Cambridge University Press.
Prior, A. N. 1957. ''Time and Modality''. Oxford: Oxford University Press.
Prior, A. N. 1967. ''Past, present and future''. Oxford: Clarendon Press.
Putnam, H. 1983. “Models and reality”. En ''Realism and Reason'', 1-25. Cambridge: Cambridge University Press.
Russell, B. 1923. “Vagueness”. ''Australasian Journal of Philosophy and Psychology'' 1(2): 84-92.
Smith, P. 2007. ''An introduction to Gödel’s Theorems''. Cambridge University Press.
Srivastava, S. 2008. ''A Course in Mathematical Logic''. Berlin: Springer Verlag.
Tarski, A. 1936. “Der wahrheitsbegriff in den formalisierten sprachen”. ''Studia Philosophica'' 1: 261–405.
Zalabardo, J. L. 2002. ''Introducción a la teoría de la lógica''. Madrid: Alianza Editorial.
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