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En la matemática standard las teorías se definen como ''estructuras conjuntistas''. Una ''estructura'' en matemática es un conjunto ordenado cuyos elementos son también conjuntos. Toda estructura posee al menos un dominio y al menos una relación o función definidas sobre ese dominio, o bien algún elemento distinguido de ese dominio. De manera más general, una estructura es un conjunto ordenado ⟨''D<sub>1</sub>'',…, ''D<sub>n</sub>'', ''R<sub>1</sub>'', …, ''R<sub>m</sub>'', ''f<sub>1</sub>'', …, ''f<sub>i</sub>'', ''a<sub>1</sub>'', …, ''a<sub>k</sub>''⟩. Una estructura debe contener al menos un dominio, que habitualmente se especifica como un conjunto no vacío de objetos cualesquiera, y al menos una relación, y/o función definida sobre los objetos del dominio. Una teoría matemática es una estructura en la cual se cumplen determinados axiomas. Así, por ejemplo, la aritmética de Peano de primer orden (''AP<sub>1</sub>'') es la estructura [[File:image001 mc.png]], donde ''C'' es un conjunto no vacío de objetos, [[File:image002 mc.png]] es un funtor unario, [[File:image003 mc.png]] son dos funtores binarios (el superíndice indica el grado del funtor) y ''a'' y ''b'' son dos constantes individuales. Respecto de esta estructura se cumplen los axiomas de Peano. Estos axiomas proporcionan una definición explícita de la estructura denominada ''AP<sub>1</sub>''.'' ''El modelo pretendido de la aritmética de Peano es la estructura ''M'' = ⟨ℕ, ''S'', +, x, 0, 1⟩, donde ℕ es el conjunto de los números naturales, ''S'' es la función sucesor inmediato, + y x son las operaciones de suma y producto entre números naturales, y 0 y 1 son dos elementos distinguidos de ℕ. Como se podrá advertir, el modelo se obtiene interpretando cada uno de los términos de la estructura ''AP<sub>1</sub>''. En el modelo ''M'' todos los axiomas de ''AP<sub>1</sub>'' resultan oraciones verdaderas, o, como se dice de manera más habitual, los axiomas son verdaderos en la estructura ''M''. Dado que si los axiomas de una teoría son verdaderos también son verdaderas todas las consecuencias lógicas de esos axiomas, resulta que en ''M'' son verdaderos todos los teoremas de ''AP<sub>1</sub>''. Más en general, ''un modelo de una teoría es una estructura en la cual son verdaderos todos los teoremas de dicha teoría''.
Un modelo de una teoría es siempre una estructura, es decir, un conjunto ordenado de conjuntos. Desde el punto de vista ontológico, un modelo es, por tanto, una ''entidad abstracta'', independientemente de que el dominio de esa estructura pueda ser un conjunto de objetos concretos.
Dos estructuras se llaman ''similares'' si a) tienen el mismo número de dominios, relaciones, funciones y elementos distinguidos, y b) si las relaciones y/o funciones son del mismo grado. Así, por ejemplo, las estructuras ''E<sub>1</sub>'' = ⟨''D<sub>1</sub>'', ''R<sub>1</sub>''⟩ y ''E<sub>2</sub>'' = ⟨''D<sub>2</sub>'', ''R<sub>2</sub>''⟩ serán semejantes en caso de que ''R<sub>1</sub>'' y ''R<sub>2</sub>'' sean ambas relaciones monádicas, o ambas relaciones diádicas, etc., pero no serán semejantes en caso de que ''R<sub>1</sub>'' sea monádica y ''R<sub>2</sub>'' sea diádica, etc. La misma condición se aplica en caso de que la estructura contenga funciones.
Dos estructuras semejantes son ''isomorfas'' si a) sus respectivos dominios son biyectables (por tanto, tienen el mismo número de elementos), y b) si las relaciones y/o funciones preservan la estructura (es decir, si dos elementos cualquiera de una estructura están relacionados de cierta manera, entonces, los elementos correspondientes de la otra estructura están relacionados de la misma manera). Un ''isomorfismo'' es, entonces, una biyección entre dos conjuntos que preserva la estructura de tales conjuntos. Si solo se cumple la condición b), las dos estructuras son ''homomorfas''. Un ''homomorfismo'' es una función entre dos conjuntos que preserva la estructura de tales conjuntos. Es evidente que todo isomorfismo es también un homomorfismo, pero no a la inversa. El isomorfismo y el homorfismo son ambas ''relaciones de equivalencia'', es decir, son relaciones ''reflexivas'', ''simétricas ''y ''transitivas''.
Todo lo anterior relativo a las relaciones entre estructuras se aplica igualmente a las relaciones entre modelos, ya que estos son precisamente cierta clase de estructuras: aquellas en las cuales todos los teoremas de una teoría resultan verdaderos. Si todos los modelos de una misma teoría son isomorfos entre sí, se dice que dicha teoría es ''categórica''. La relación entre teorías formales y modelos es el objeto de estudio de una de las ramas más desarrolladas de la lógica matemática, la llamada, precisamente, ''teoría de modelos'', acerca de cuyos resultados fundamentales existe un amplio consenso en la comunidad científica (para una introducción amplia al tema véase Manzano 1999; para una exposición más avanzada véase Hodges 1997).
