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Como ilustración podemos tomar la ''Hipótesis del Continuo'' de Cantor. De acuerdo con esta hipótesis, no existe ningún conjunto con un cardinal mayor que el de los números naturales y menor que el de los números reales. A pesar de sus esfuerzos y su capacidad matemática, Cantor no fue capaz de demostrar la Hipótesis del Continuo (es el primer problema de la famosa lista propuesta por Hilbert en 1900 que recogía los 23 problemas más importantes de las matemáticas). Hoy en día sabemos (gracias a resultados de Gödel en 1940 y Cohen en 1963) que la Hipótesis del Continuo es independiente de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (es decir, no se puede ni demostrar ni refutar a partir de los axiomas de Zermelo-Fraenkel). Dado que dentro de esta teoría es posible expresar gran parte de la matemática conocida, es natural suponer, para el antirrealista, que la Hipótesis del Continuo no tiene un valor definido. El realista, por el contrario, mantendrá que tiene un valor definido, independiente de nuestras consideraciones sobre el tema.
La discrepancia en torno al principio de bivalencia puede derivar en una discrepancia sobre qué inferencias son válidas dentro del terreno matemático. Bajo ciertos supuestos, el principio de bivalencia viene expresado por la validez de la ''ley de tercio excluso'', <math> A\lor\lnotAlnot A</math>
De modo que una posición antirrealista puede muy bien rechazar este principio de la lógica clásica y otros relacionados, como la eliminación de la doble negación (ver sección 2.3).
Donde <math>t</math> y <math>u</math> son términos (posiblemente complejos, como <math>(3^6+7)^3</math>) para hacer referencia a números naturales. Una afirmación aritmética es ''efectivamente decidible'' cuando hay un procedimiento mecánico (un programa de ordenador) capaz de resolver su verdad o falsedad en un número finito de pasos. Afirmaciones aritméticas de la forma anterior donde <math>t</math> y <math>u</math> no envuelven variables (y por lo tanto, realizan afirmaciones sobre números particulares) son ''decidibles''. Los cuantificadores '<math>\forall</math>' (para todo) y '<math>\exists</math>' (existe) nos permiten hacer afirmaciones generales sobre números naturales, como por ejemplo,
<math>\lnot\exists x (s(x)=0)<nowiki></math>
(informalmente: no existe un <math>x</math> tal que el sucesor de <math>x</math> es <math>0</math>, esto es, el <math>0</math> no tiene antecesor)
que es verdadera acerca de los números naturales. Se dice que un cuantificador está ''acotado'' cuando hace referencia a un subconjunto finito de números naturales. Por ejemplo, en la siguiente oración,
<math>\forall x(x < 10\supset (Primo(x)\supset x = 2))<nowiki></math>
(informalmente: para todo número natural menor que 10, si es primo, es el 2)
y afirmaciones aritméticas falsas, como,
<math>\forall x\;\forall y\;\forall z\; ((x+y)\cdot z = x + (y\cdot z))<nowiki></math>
Definamos la teoría de la aritmética <math>Teo(\mathcal{N})</math> como el conjunto que contiene todas las oraciones del Lenguaje de la Aritmética que son verdaderas en la estructura de la aritmética <math>\mathcal{N}</math> y solo las oraciones verdaderas en <math>\mathcal{N}</math>. Dado que toda oración de <math>\mathcal{L}_{A}</math> es verdadera o falsa en <math>\mathcal{N}</math>, si una oración <nowiki><math>A</math></nowiki> es verdadera en <nowiki><math>\mathcal{N}</math></nowiki> entonces <nowiki><math>A\in Teo(\mathcal{</nowiki>'''N}''')<nowiki></math></nowiki> y si <nowiki><math>A</math></nowiki> es falsa en <math>\mathcal{N}</math> entonces <math>\lnot A</math> es verdadera en <math>\mathcal{N}</math> de modo que <math>\lnot A\in Teo(\mathcal{N})</math>. Es decir, por definición <math>Teo(\mathcal{N})</math> es una teoría completa: ''la'' teoría de la aritmética. Esta definición de la teoría de la aritmética, sin embargo, no nos da ninguna pista sobre las que oraciones contiene. Nos gustaría saber, por ejemplo, si afirmaciones como la Conjetura de Goldbach son o no son parte de la teoría de la aritmética. Para ello podríamos tratar de axiomatizar <math>Teo(\mathcal{N})</math>, es decir, encontrar una lista de axiomas "fácilmente reconocibles", de manera que cualquier afirmación en <math>Teo(\mathcal{N})</math> se derive por procedimientos cuya validez sea también "fácilmente reconocible". El primer teorema de incompletud establece que esta aspiración no es realizable.[3]
'''Primer Teorema de Incompletud.''' El conjunto de oraciones aritméticas verdaderas no es recursivamente enumerable.
Un conjunto <math>\Sigma</math> es recursivamente enumerable cuando o bien es vacío o hay una función recursiva <math>f\;:\;\mathbb{N}\longrightarrow\Sigma</math> sobre la totalidad de <math>\Sigma</math>. Una función recursiva es, intuitivamente, una función que puede aplicarse mecánicamente y aporta, por tanto, un procedimiento "fácilmente reconocible" (hasta una máquina es capaz de hacerlo!) para generar las oraciones de la teoría. Las teorías axiomáticas, como la ''Aritmética de Peano'', son recursivamente enumerables de modo que si las oraciones de la ''Aritmética de Peano'' son verdaderas en <math>\mathcal{N}</math>, se sigue del Primer Teorema de Incompletud que hay al menos una oración verdadera pero no demostrable por la ''Aritmética de Peano''. El resultado no depende de una particular falta de la ''Aritmética de Peano'': cualquier teoría axiomática <nowiki><math>\mathbf{T}</math></nowiki> en el lenguaje de la aritmética <nowiki><math>\mathcal{L}_{A}</math></nowiki> que sea ‘‘aritméticamente sólida’’ "aritméticamente sólida" (esto es <math>\mathbf{T}\subseteq Teo(\mathcal{N})</math> contiene alguna oración verdadera e indemostrable (contiene de hecho infinitas oraciones de este tipo). En este sentido, las teorías axiomáticas aritméticas son, si verdaderas, incompletas y de ahí el nombre del teorema.
'''Segundo Teorema de Incompletud.''' Hay una oración del Lenguaje de la Aritmética, <math>con_{\mathbf{AP}}</math>, que es verdadera exactamente si la ''Aritmética de Peano'' es consistente. Ahora bien, si la ''Aritmética de Peano'' es consistente entonces <math>con_{\mathbf{AP}}</math> no es demostrable en la ''Aritmética de Peano''.
La visión intuicionista sobre las matemáticas implica también el rechazo a algunas formas de razonamiento clásicamente válidas. Consideremos el caso de una generalización existencial del tipo ‘hay un número <math>x</math> con cierta propiedad <math>A</math>’ (en símbolos: ‘<math>\exists x A</math>’). En lógica clásica podemos demostrar la generalización por procedimientos ''indirectos'', sin tener la menor idea de cuál es el objeto del que hablamos. Más concretamente, en lógica clásica bastaría con demostrar una contradicción a partir de la negación de la generalización:
<math>\lnot\exists x A\vdashBvdash B\land\lnot B</math> implica clásicamente <math>\vdash\exists x A</math>
(el símbolo ‘<math>\vdash</math>’ puede leerse como ‘hay una demostración’)
Para el intuicionista, por el contrario, demostrar una generalización existencial requiere proporcionar un modo de construcción del objeto. El hecho de que de <math>\lnot\exists x A</math> podamos demostrar una contradicción solo nos permite establecer <math>\lnot\lnot\exists x A </math>,
<math>\lnot\exists x A\vdash B\land\lnot B<nowiki></math> implica intuicionistamente <math>\vdash\lnot\lnot\exists x A</math>
En efecto, los intuicionistas rechazan el principio clásico de ''eliminación de la doble negación'':
<math>0 = \emptyset\qquad 1 = \{\emptyset\}\qquad 2 = \{\emptyset, \{\emptyset\}\}\qquad 3 = \{\emptyset, \{\emptyset\}, \{\emptyset, \{\emptyset \}\}\}\qquad </math> etc.
Dentro de ambas propuestas posible definir las operaciones aritméticas elementales: la sucesión, la suma, la multiplicación y la exponenciación, de manera que todas las afirmaciones verdaderas del Lenguaje de la aritmética (ver sección 2.2) sean verdaderas bajo estas definiciones. El problema, como apunta Benacerraf (1965), es que, aparentemente, ambas propuestas no pueden ser simultáneamente verdaderas. Pues si <math>\{\{\emptyset\}\} = 2</math> (propuesta a) y <math>2 = \{\emptyset,\{\emptyset\}\}<nowiki></math> (propuesta b) entonces, dado que la identidad es transitiva, <math>\{\{\emptyset\}\} = \{\emptyset, \{\emptyset\}\}<nowiki></math>, lo cual es falso.
Una respuesta al ''problema de la identificación'' de Benacerraf es decir que todas las teorías matemáticas hablan acerca de ''estructuras''. La aritmética, por ejemplo, no habla propiamente acerca de unos objetos matemáticos específicos, los números naturales, sino que habla acerca de una estructura en la que distintas posiciones en la estructura mantienen distintas relaciones con otras posiciones en la estructura. En este sentido, tanto la propuesta a) como la propuesta b) son adecuadas, en tanto que describen la estructura de los números naturales. Puesto que un número natural no es nada por encima de sus relaciones estructurales con otras posiciones en la estructura de la aritmética, aquellas preguntas que sobrepasan el ámbito estructural, son irrelevantes para la identidad de un número. Por ejemplo, la pregunta sobre si <math>\{\{\emptyset\}\} = \{\emptyset, \{\emptyset\}\}</math> no tienen relevancia para la identidad del número <math>2</math>.
