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Los ''estados'' de un sistema cuántico son representados en un ''espacio de Hilbert'' [[File:image003.png]], que es un espacio vectorial lineal complejo, es decir, es un conjunto de vectores cerrado bajo la suma y la multiplicación por escalares que pertenecen al campo de los números complejos. Para cada instante, el estado del sistema cuántico es representado por un único ''vector'' [[File:image007.png]](''ket'', en notación de Dirac) en un espacio de Hilbert: [[File:image007.png]]∈[[File:image003.png]].
Por otra parte, las propiedades de un sistema cuántico, llamadas en física ''observables'', se representan mediante ''operadores'' sobre el espacio de Hilbert. Matemáticamente, un observable 𝒪 [[File:POMQimage001.png]] se representa mediante un operador [[File:DQimage018POMQimage002.png]] que tiene autovectores [[File:POMQimage004.png]] y autovalores [[File:POMQimage006.png]], de manera que si se multiplica un autovector por el operador, el resultado es una constante (el autovalor) por el autovector original, es decir, [[File:POMQimage008.png]]. Desde el punto de vista físico, los autovalores [[File:POMQimage010.png]] del operador [[File:POMQimage002.png]] son los valores que es posible obtener en una medición de la propiedad [[File:POMQimage001.png]]. Para calcular magnitudes de interés físico, se realizan operaciones algebraicas a partir de los mencionados operadores. Así, por ejemplo, el valor medio de la propiedad representada por [[File:POMQimage002.png]], para un sistema en el estado [[File:image007.png]], se calcula como [[File:POMQimage014.png]]. Estos valores medios son resultados que pueden calcularse directamente a partir de los datos obtenidos en los experimentos. Vale la pena agregar que los operadores que se utilizan en mecánica cuántica tienen todos sus autovalores reales y sus autovectores son ortogonales (''cf''., ''i.e''., Ballentine 1998). Por lo tanto, los autovectores de un operador que representa un observable cuántico pueden formar una base del espacio de Hilbert (y, de hecho, así sucede cuando el operador es no degenerado, ''cf''. Ballentine 1998). Una base para los estados es un conjunto de vectores a partir de los cuales, por medio de una combinación lineal, es posible expresar cualquier vector de estado. Por ejemplo, si los estados [[File:POMQimage018.png]] forman una base del espacio de Hilbert [[File:image003.png]] de dimensión [[File:POMQimage020.png]], entonces cualquier vector de estado [[File:image007.png]] se puede escribir como <center>[[File:POMQimage021.png]]</center> donde los coeficientes [[File:POMQimage023.png]] son números complejos. Puesto que hay infinitas bases del espacio de Hilbert [[File:image003.png]], el mismo vector [[File:image007.png]] se puede representar en la base [[File:POMQimage027.png]], de manera que <center>[[File:POMQimage029.png]]</center> donde los coeficientes [[File:POMQimage033.png]] también son números complejos, los cuales mantienen una relación con los coeficientes [[File:POMQimage023.png]] que depende de cuáles sean los vectores de cada base. Para ilustrar estos conceptos, presentemos un ejemplo. Consideremos un sistema cuántico que se encuentra en un estado representado por el vector [[File:image007.png]], y un observable [[File:POMQimage034.png]] representado por el operador [[File:POMQimage036.png]] con autovectores [[File:POMQimage037.png]] y [[File:POMQimage040.png]], que forman una base de un espacio de Hilbert de dos dimensiones. El vector [[File:image007.png]] puede representarse como una combinación lineal de los estados de la base, con coeficientes [[File:POMQimage042.png]] y [[File:POMQimage045.png]] (Figura 1.1): <center>[[File:figura 1 pomq.jpg]]</center><center>Figura 1.1</center> De acuerdo con la regla de Born, los coeficientes elevados al cuadrado, [[File:POMQimage051.png]] y [[File:POMQimage054.png]], miden las probabilidades de que el observable adquiera los valores [[File:POMQimage057.png]] y [[File:POMQimage059.png]], respectivamente, cuando el sistema se encuentra en el estado representado por el vector [[File:image007.png]] (obsérvese que, de acuerdo con el teorema de Pitágoras, [[File:POMQimage061.png]], tal como debe suceder con la suma de las probabilidades de todos los casos posibles). La evolución del estado a lo largo del tiempo se rige por la ecuación de Schrödinger, que constituye el postulado dinámico de la teoría. De esta manera, un estado inicial [[File:POMQimage063.png]] se convierte en [[File:POMQimage065.png]]: <center>[[File:POMQimage069.png]]</center> donde [[File:POMQimage071.png]] es el operador hamiltoniano del sistema, esto es, el operador que corresponde al observable energía. La representación en términos de vectores de estado es apropiada en muchos casos, pero no es la más general. Con el vector de estado [[File:image007.png]] es posible construir el operador de estado [[File:POMQimage075.png]] (representado usualmente mediante una matriz densidad) del siguiente modo: <center>[[File:POMQimage077.png]]</center> La representación matemática del operador de estado se realiza en el espacio de Liouville [[File:POMQimage078.png]], que es el producto tensorial del espacio de Hilbert por sí mismo: [[File:POMQimage080.png]], siendo [[File:POMQimage078.png]] un espacio “más grande” que el espacio de Hilbert. Por lo tanto, el espacio de Liouville permite la representación de estados que no existen en el espacio de Hilbert y, por ello, brinda una representación más general que la representación tradicional en un espacio de Hilbert. La evolución del operador de estado viene dada por la ecuación de Schrödinger en versión de von Neumann:<center>[[File:POMQimage083.png]]</center> donde, nuevamente, [[File:POMQimage071.png]] es el hamiltoniano del sistema, y el conmutador [[File:POMQimage085.png]] se calcula como [[File:POMQimage087.png]]. El formalismo de la mecánica cuántica también permite describir y dar cuenta de la evolución de sistemas compuestos, es decir, sistemas donde interviene más de una partícula. En el caso de sistemas compuestos, el estado inicial del sistema total se construye como el producto tensorial de los estados de sus subsistemas del siguiente modo (Landau y Lifshitz 1972): *Se consideran dos partículas inicialmente separadas e independientes: la partícula 1 en el estado [[File:POMQimage090.png]] y la partícula 2 en el estado [[File:POMQimage092.png]]. *Se asume que, a partir del instante [[File:POMQimage095.png]] las dos partículas serán consideradas partes de un sistema compuesto total cuyo estado inicial es [[File:POMQimage096.png]]. *El estado total [[File:POMQimage100.png]] evoluciona, como todo sistema cuántico, según la ecuación de Schrödinger.
