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La representación matemática del operador de estado se realiza en el espacio de Liouville ℒ, que es un espacio “más grande” que el espacio de Hilbert; por lo tanto, permite la representación de estados que no existen en el espacio de Hilbert, es decir, estados que no se pueden escribir como en la expresión (2.1). Por ello, brinda una representación más general que la tradicional en un espacio de Hilbert. En el caso discreto se puede pensar al operador de estado como una matriz, cuyos elementos evolucionan en el tiempo:
[[File:DQimage014.png|center]] <div align="right">(2.2)</div>
Comparando las expresiones (2.1) y (2.2) podemos advertir que un estado de dimensión dos está representado por un vector con dos componentes. En cambio el operador de estado correspondiente es una matriz de 2 x 2 con cuatro elementos. Los grados de libertad en la representación de operadores de estado son más. La evolución del operador de estado [[File:DQimage015.png]] viene dada por la ecuación de von Neumann-Liouville:
[[File:DQimage016.png|center]] <div align="right">(2.3)</div>
donde [[File:DQimage017.png]] es el Hamiltoniano del sistema. Por otro lado, cada propiedad física ''O'' del sistema queda representada por un observable específico [[File:DQimage018.png]] que pertenece al espacio de observables 𝒪, de modo que el operador [[File:DQimage019.png]] representa la posición, el operador [[File:DQimage020.png]] representa el momento, etc.
====Estados puros y estados mezcla====
Considérese un sistema ''S'', con una propiedad ''A'' asociada al observable [[File:DQimage021.png]] con autoestados [[File:DQimage022.png]] y autovalores [[File:DQimage023.png]]. Un estado ''puro'' es un estado que admite la representación en términos de vectores de estados:
[[File:DQimage024.png]] <div align="right">(2.4)</div>
Si bien en este caso [[File:DQimage012.png]] es una superposición de estados [[File:DQimage022.png]] y, por lo tanto, no hay certeza a la hora de predecir el resultado de una medición del observable [[File:DQimage021.png]] éste es un estado puro porque siempre existe un observable [[File:DQimage025.png]] tal que [[File:DQimage012.png]] sea uno de sus autoestados: tendremos absoluta certeza acerca del resultado de una medición del observable [[File:DQimage025.png]]. En términos del operador de estado, tenemos que [[File:DQimage015.png]] es una matriz con todos sus autovalores iguales a 0 excepto uno, que es igual a 1; por ejemplo para, el caso 2×2:
[[File:DQimage027.png]] <div align="right">(2.5)</div>
El número uno en la diagonal del operador de estado significa que existe un observable tal que si realizamos una medición entonces hay certeza acerca del resultado del experimento. Por ejemplo, si el sistema tiene el operador de estado [[File:DQimage028.png]] entonces su vector de estado es [[File:DQimage012.png]], por otro lado [[File:DQimage012.png]] es autoestado de algún observable, digamos ''O''. Entonces al medir ''O'' obtendremos como resultado [[File:DQimage029.png]] con probabilidad 1. A este tipo de estados se los llama estado puros porque siempre existe una base en la que el estado no es una superposición.
Si el estado no es puro, resulta imposible representarlo en términos de vectores de estado y sólo puede usarse el operador de estado. En este caso no hay certeza en la predicción del resultado de ninguna medición que pueda hacerse sobre el sistema, y al estado se lo llama ''mezcla''. Si se diagonaliza un estado mezcla, se encuentra que todos sus autovalores son menores que 1; por ejemplo, para el caso 2×2
[[File:DQimage030.png]] <div align="right">(2.6)</div>