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Von Neumann también intervino de manera decisiva en el problema de la medición. Resumiendo trabajos anteriores, argumentó que la medición en un sistema cuántico involucra dos procesos distintos que pueden ser considerados como etapas temporalmente contiguas (von Neumann 1955, 417-418)[[#8|<sup>8</sup>]]<span id="........">. En la primera etapa, el sistema cuántico ''S'' a ser medido interactúa con ''M'', un aparato de medición macroscópico para alguna cantidad física [[File:MTCimage001.png]]. Esta interacción está gobernada por la ecuación lineal y determinista de Schrödinger, y se representa en los siguientes términos. Supongamos que en un instante ''t'', cuando se inicia la medición, el sistema que medirá ''S'' se encuentra en un estado representado por un vector ''f'' en el espacio de Hilbert. Como cualquier vector del espacio de Hilbert ''H ''(''S'') de los posibles vectores de estado para ''S'', ''f'' se puede descomponer en una superposición lineal de la forma [[File:MTCimage005.png]], para algún conjunto [[File:MTCimage007.png]] de números complejos. A su vez, ''f<sub>i</sub>'', llamado autovector de ''Q ''correspondiente al valor posible ''q<sub>i</sub>'' es el estado de ''S ''en ''t'' para el cual, cuando ''S'' se encuentra en ese estado, existe una probabilidad igual a uno de que ''Q'' tenga el valor ''q<sub>i</sub>''[[#9|<sup>9</sup>]]<span id=".........">. Se considera que en el instante ''t'', cuando la medición se inicia, el aparato de medición'' M'' está en el estado “preparado” ''g'', donde ''g'' es un vector en el espacio de Hilbert ''H''(''M'') de los posibles estados para ''M''. De acuerdo con las leyes de la MC, esto implica que, en ''t'', ''S''+''M '' se encuentra en el estado “producto tensorial” [[File:MTCimage017.png]] perteneciente al espacio de Hilbert ''H''(''S''+''M''), que es el producto directo de los espacios de Hilbert ''H''(''S'') y ''H''(''M'').
Si asumimos que el proceso de medición conserva ''Q'' y que la representación de ''Q ''no es degenerada en ''H''(''M''), entonces la ecuación de Schrödinger implica que en un instante [[File:MTCimage019.png]], cuando la primera etapa de medición termina, el estado de ''S''+''M'' es [[File:MTCimage020.png]], donde se asume que ''g<sub>i</sub>'' es un estado de ''M ''para el cual hay probabilidad 1 de que ''M'' registre el valor ''q<sub>i</sub>''[[#10|<sup>10</sup>]]<span id="..........">. Tales estados, representados por una combinación lineal de productos de la forma [[File:MTCimage024.png]], han sido denominados “estados entrelazados” [[#11|<sup>11</sup>]]<span id="...........">.
Von Neumann asume que, después de la primera etapa del proceso de medición, tiene lugar un segundo proceso, no lineal e indeterminista, la “reducción (o colapso) del paquete de onda”, que involucra el “salto” de ''S''+''M'' “saltando” (el famoso “salto cuántico”) del estado entrelazado [[File:MTCimage020.png]] al estado [[File:MTCimage024.png]] para algún ''i''. A su vez, esto significa (de acuerdo a las leyes de la MC) que ''S'' se encuentra en estado ''f<sub>i</sub>'' y ''M'' en el estado ''g<sub>i</sub>'', donde ''g<sub>i</sub>'' es el estado en el que ''M'' registra el valor ''q<sub>i</sub>''. Supongamos que [[File:MTCimage029.png]] representa el instante en el cual termina esta segunda y última etapa de la medición [[#12|<sup>12</sup>]]<span id="............">. Se desprende que en [[File:MTCimage029.png]], cuando la medición como un todo concluyó, ''M'' registra el valor ''q<sub>i</sub>''. Dado que la reducción de von Neumann del paquete de onda es indeterminista, no hay posibilidad de predecir qué valor ''M'' se registrará en [[File:MTCimage029.png]]. Sin embargo, la MC nos proporciona información estadística adicional a través de la llamada interpretación estadística de Born:
La probabilidad de que se registre ''q<sub>i</sub>'' es [[File:MTCimage030.png]] donde [[File:MTCimage032.png]] es el coeficiente de ''f<sub>i</sub>'' (el autovector de ''Q ''correspondiente al valor ''q<sub>i</sub>'') cuando el estado inicial medido de ''S ''se expresa como una superposición lineal de autovectores de Q.
En resumen, la MC no predice cuál será el valor medido, pero al menos sí nos dice cuál es la distribución de probabilidad de los diferentes valores medidos posibles.
Desde su presentación dentro de la teoría de la medición, la segunda etapa de la medición, con sus radicales discontinuidades no lineales, ha dado origen a muchas de las dificultades filosóficas que han plagado la MC, que incluía aquello que von Neumann denominaba “peculiar doble naturaleza” (von Neumann 1955, 471). En efecto, Schrödinger presagió dichas dificultades incluso antes del desarrollo formal de la teoría de medición. Por ejemplo, durante su visita al instituto de Bohr durante septiembre de 1926, se sintió inclinado a decir: “Si todo este condenado salto cuántico [''verdamnte Quantenspringerei''] realmente fuera a quedarse, debería lamentar haberme alguna vez involucrado en la mecánica cuántica” (Jammer 1974, 57).
Ahora bien, el modelo clásico del proceso de medición de von Neumann que he presentado aquí debe modificarse para reflejar con precisión las mediciones en el mundo real. En particular, dado que el aparato de medición es un sistema macroscópico, debería describirse en cualquier instante mediante una mezcla estadística de muchos posibles micro-estados, todos compatibles con su macro-estado. E incluso, si esto se realizara, cabría esperar que los diferentes resultados en diferentes ejecuciones de la medición se explicaran por diferencias en el (incontrolable) micro-estado del aparato, utilizando sólo la dinámica lineal y sin introducir una segunda etapa de medición especial y discontinua. Pero, como von Neumann sostiene en el comienzo de su discusión acerca de la medición en mecánica cuántica (von Neumann 1955, sección VI.3), es imposible obtener de esta manera la distribución de resultados correcta para todos los estados iniciales, a menos que la mezcla estadística de estados que describe al aparato antes de la medición ya dependa del estado de entrada del sistema a ser medido. La prueba más general de este resultado, que se conoce como “teorema de insolubilidad” para la medición cuántica, fue formulada recientemente por Bassi y Ghirardi (2000). Estos autores prueban que, al aceptar la dinámica lineal de Schrödinger, aceptamos el resultado que nos muestra que, al final de un proceso de medición, debe haber “superposición de estados macroscópicamente distintos del aparato y, en general, de un macro-sistema” (Bassi y Ghirardi 2000, 380). Y este resultado, señalan, es contrario a la experiencia, ya que, al final de un proceso de medición, aunque tengamos incerteza sobre la posición del puntero, el puntero mismo nunca se encuentra en una superposición indeterminada de diferentes posiciones. De este modo, al parecer, von Neumann está en lo cierto cuando afirma que la dinámica lineal ortodoxa de la mecánica cuántica debe rendirse en el contexto del proceso de medición (Bassi y Ghirardi 2000, 380; ver también Ghirardi 2011). Otro problema de la formulación de von Neumann del proceso de medición posee un carácter más técnico. Tradicionalmente se asume que los diversos ''g<sub>i</sub>'' son autovectores mutuamente ortogonales de una cantidad física macroscópica –llamémosla X– que corresponde a la ubicación de la punta de un puntero en algún punto de alguna escala. En particular, se asume que el hecho de que ''M'' esté en el estado ''g<sub>i</sub>'' significa que existe una probabilidad unitaria que el puntero caiga en la ''i''-ésima posición de la escala. Sin embargo, existen enormes dificultades en este modelo. Por ejemplo, Araki y Yanase (1960) han demostrado que, bajo condiciones muy generales, incluso la relativamente incontrovertida primera etapa lineal de la interacción de medición es simplemente imposible. Sin embargo, debilitando ligeramente la hipótesis de ortogonalidad, y asumiendo que los diversos ''g<sub>i</sub>'' son sólo aproximadamente ortogonales, podemos evitar esta dificultad. Y, efectivamente, como señalaron Bassi y Ghirardi (2000), “todos” están de acuerdo con la necesidad de alguna modificación.
Una tercera dificultad surge del modelo de von Neumann. Supongamos que al final del proceso de medición el puntero se encuentra localizado, en el sentido en que hay probabilidad cero de encontrarlo fuera de una región finita del espacio (como la división ''n''-ésima de una escala) – esto es, en términos técnicos, el estado cuenta con un “soporte espacial compacto”. Pero además supongamos que en este preciso instante la dinámica del aparato de medición se revierte a la forma lineal ortodoxa de Schrödinger. Entonces, como señala Ghirardi (2011), el estado del aparato de medición “se esparcirá inmediatamente adquiriendo una cola que se extiende sobre todo el espacio” (Ghirardi 2011, 14), un resultado que está en tensión con el requerimiento de Shimony según el cual “no debería tolerarse colas en las funciones de onda que sean tan extensas que sus diferentes partes puedan ser discriminadas por los sentidos, incluso si se les asigna muy baja amplitud de probabilidad” (Shimony 1990, citado por Ghirardi 2011, 13). Ghirardi toma esta dificultad como base para adoptar el drástico paso de abandonar no sólo la dinámica lineal ortodoxa de la Mecánica Cuántica, sino también la representación estándar de los estados en el espacio de Hilbert.
==Gatos en singletes==
El trabajo de von Neumann prepara el escenario para las diversas paradojas que han perseguido a la MC. Una de ellas es la famosa paradoja del gato de Schrödinger (Schrödinger 1935b). Esta paradoja explica el hecho de que, de acuerdo con von Neumann, la intervención del observador al final de la primera etapa del proceso de medición lleva a ''S''+''M'' desde un estado entrelazado, en el que el valor que ''M'' registra es “indeterminado”, a un estado en el que ''M'' registra un valor preciso. En el caso de la paradoja del gato, el problema está dispuesto de modo tal que el hecho de estar vivo o muerto corresponde a diferentes estados de ''M''. Por lo tanto, al parecer, el acto de observar al gato lo lleva desde un extraño estado tipo-zombie, en el que está indeterminado si está vivo o muerto, a un estado en el que hay simplemente incerteza acerca de si está vivo o muerto. “Las miradas pueden matar” podríamos decir.