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Caos
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Parte del artículo (1993) de Robert Batterman discute definiciones problemáticas del caos, a saber, aquellas que se enfocan en las nociones de impredecibilidad. Ciertamente, esto no resulta necesario ni suficiente para diferenciar al caos del simple comportamiento aleatorio. Y de hecho Batterman no especifica una definición alternativa de caos. Lo que sugiere, es que la inestabilidad exponencial –la divergencia exponencial entre dos trayectorias que partieron de una misma vecindad– es una condición necesaria, pero deja abierta la cuestión de si esta condición resulta también suficiente.
<center>Figura 1: El atractor de Lorenz</center>
(DSD)
Un sistema caracterizado por '''''J'''''('''''x'''''(''t'')) tiene la propiedad de dependencia sensible débil para estas condiciones iniciales si y solo si: ∃ε>0∀'''''x'''''(0) ∀δ>0 ∃''t''>0 ∃'''''y'''''<nowiki>(0) [ |</nowiki>'''''x'''''(0) − '''''y'''''(0)| <δ y |'''''J'''''('''''x'''''(''t'')) − '''''J'''''('''''y'''''(''t''))| >ε ].
La idea fundamental es que el propagador actúe de manera tal que sin importar cuán cerca se encuentren '''''x'''''(0) y '''''y'''''(0), la trayectoria iniciada en '''''y'''''(0), eventualmente divergirá de la trayectoria iniciada en '''''x'''''(0) en un valor ε. Sin embargo, DSD no especifica la tasa de divergencia (es compatible con tasas de divergencia lineal) ni especifica cuántos puntos en derredor de '''''x'''''(0) darán lugar a trayectorias divergentes (podría tratarse de un conjunto de cualquier medida, e.g. cero). Típicamente un sistema no se considera caótico a menos que todos los puntos cercanos en un espacio de estados puedan generar trayectorias divergentes.
(DSF)
∃λ tal que para casi todos los puntos '''''x'''''(0), ∀δ>0 ∃''t''>0 tal que para todos los puntos '''''y'''''(0) en una pequeña vecindad (δ) en torno a '''''x'''''<nowiki>(0) [ |</nowiki>'''''x'''''(0) − '''''y'''''(0)|<δ y |'''''J'''''('''''x'''''(''t'')) − '''''J'''''('''''y'''''(''t''))| ≈ |'''''J'''''('''''x'''''(0)) − '''''J'''''('''''y'''''(0))|''e''<sup>λ''t''<(/sup>],
donde la salvedad “casi todos” debe entenderse como aplicada a todos los puntos en un espacio de estados excepto por un conjunto de medida cero. Aquí λ se interpreta como el exponente global máximo de Lyapunov (ver Apéndice) y se considera que representa la tasa promedio de divergencia de las trayectorias vecinas que parten desde alguna pequeña vecindad centrada en torno a '''''x'''''(0). Cuando λ>0 significa que habrá un crecimiento exponencial (en cambio, si λ<0 habrá convergencia). En general, dicho crecimiento no puede extenderse por siempre. Si el sistema está limitado en el espacio y en el momento, habrá límites acerca de qué tanto pueden divergir las trayectorias vecinas unas de otras.
Un mapeo discreto ''f ''es ''caótico ''si para alguna iteración ''n ''≥1, se mapea el intervalo unidad ''I ''en una herradura (ver figura 2).
<center>Figura 2: La herradura de Smale</center>