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Caos
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Poincaré expuso algunos ejemplos que, vistos en retrospectiva, pueden ser de utilidad para despertar dudas acerca de la pertinencia de tomar el crecimiento explosivo de efectos pequeños como condición suficiente para obtener una definición de caos. En primer lugar, considérese un cono perfectamente simétrico en perfecto equilibrio sobre su punta, con la fuerza de la gravedad como la única fuerza que actúa sobre él. En ausencia de cualquier fuerza que pudiera afectarlo, el cono mantendrá este equilibrio inestable por siempre. Este equilibrio resulta inestable porque el más pequeño empujón de, por ejemplo, una molécula de aire causará que el cono caiga, pero el cono podría caer en cualquier dirección debido a mínimas diferencias en varias perturbaciones que surgen como consecuencia de las colisiones con diferentes moléculas. En este caso, las variaciones en las causas más ligeras dan lugar a efectos dramáticamente distintos (una violación del axioma de físico de Maxwell). Si se graficara la caída de este cono inestable, observaríamos que a partir de un pequeño conjunto de condiciones iniciales, un elevado número de diferentes trayectorias que se originan en este conjunto comenzarían a divergir rápidamente unas de otras.
El concepto de trayectorias vecinas que divergen o crecen alejándose unas de otras juega un rol importante en la discusión sobre el caos. Para caracterizar dicha divergencia, tres marcas de la tasa de crecimiento son útiles: el lineal, el exponencial y el geométrico. ''El crecimiento lineal'' puede ser representado mediante la simple expresión ''y ''= ''ax''+''b, ''donde ''a ''es una constante positiva y arbitraria y ''b ''es una constante arbitraria. Un caso especial de crecimiento lineal es ilustrado por un tablero de ajedrez en el que se acumulan arroces (''a ''= 1, ''b ''= 0). Dada la regla que pide poner un arroz en el primer cuadro, dos en el segundo, tres arroces en el tercero, y así en adelante, el ejercicio se termina con 64 arroces en la última casilla. Y el número total de arroces en el tablero ascenderá a 2080. El ''crecimiento exponencial'' puede ser representado por la expresión ''y ''= ''noeaxn<sub>o</sub>e<sup>ax</sup>'', donde ''no ''es cierta cantidad inicial (digamos el numero inicial de arroces a ser acumulados) y ''a ''es una constante positiva y arbitraria. Es llamada ‘inicial’ porque cuando ''x ''= 0 (el ‘tiempo inicial’) tenemos ''y ''= ''n''0. Yendo de regreso a la analogía de los arroces acumulados (''a ''= 1), ponemos nuevamente un arroz en la primera casilla, pero ahora tocan 2,7 arroces en la segunda casilla, cerca de 7,4 arroces en el tercer recuadro y así en adelante, ¡finalizando con cerca de 6,2 × 1027 10<sup>27</sup> arroces acumulados en la última casilla! Claramente, el crecimiento exponencial sobrepasa rápidamente el crecimiento lineal. Finalmente, tenemos el ''crecimiento geométrico'', que puede ser representado por la expresión ''y = abxa<sup>bx</sup>'', donde ''a ''y ''b ''son constantes arbitrarias y positivas. Nótese que para el caso de ''a ''= ''e ''y ''b ''= 1 se recupera el caso exponencial. (1)
Muchos autores consideran una importante marca del caos el que las trayectorias que parten de puntos cercanos diverjan unas de otras exponencialmente rápido. No obstante, es posible que las trayectorias diverjan aún más rápido que exponencialmente. Tómese el ejemplo dado por Poincaré de una molécula dentro de un gas de ''N'' moléculas. Si dicha molécula sufriera la más mínima desviación de su punto de salida inicial y se comparasen sus trayectorias desde estos dos puntos de partida ligeramente distintos, las trayectorias resultantes diferirían en una tasa geométrica, elevada a la ''n'', debido a las ''n ''colisiones subsecuentes, cada una siendo distinta de la esperada si no hubiera habido el mínimo cambio en las condiciones iniciales.
'''(Lorenz)''' d''x''/d''t'' = −σ''x''+σ''y''; d''y''/d''t'' = −''xz''+''rz''−''y''; d''z''/d''t'' = ''xy''+''bz''
Un sistema dinámico se caracteriza por ser lineal o no lineal en función de la naturaleza de las ecuaciones de movimiento que describen el sistema de interés. Para ser concretos, considérese un sistema de ecuaciones diferenciales, como d'''''x''''' / d''t'' = '''''Fx''''' para un conjunto de variables '''''x''' = x1x<sub>1</sub>, x2x<sub>2</sub>, ..., xnx<sub>n</sub>''. Estas variables pueden representar posiciones, momentos, concentración química u otras características claves del sistema a estudiar. El sistema de ecuaciones nos dice cómo estas variables claves cambian con el tiempo. Supongamos que '''''x'''''<sub>1</sub>(''t'') y '''''x'''''<sub>2</sub>(''t'') son soluciones del sistema ecuación d'''''x''''' ⁄ d''t ''= '''''Fx'''''. Si el sistema de ecuaciones es lineal, puede demostrarse fácilmente que '''''x'''''<sub>3</sub>(''t'') = ''a'''x'''''<sub>1</sub>(''t'') + ''b'''x'''''<sub>2</sub>(''t'') es también una solución, donde ''a'' y ''b'' son constantes. Esto se conoce como ''el principio de superposición lineal''. Por ende, si la matriz de coeficientes '''''F''''' no contiene ninguna de las variables '''''x''''' o funciones de ellas, entonces el principio de superposición lineal se mantiene. Si el principio de superposición lineal se mantiene, entonces, en general el sistema se comporta linealmente si cualquier cambio multiplicativo en una variable, por un factor ''a, ''digamos, implica un cambio multiplicativo o proporcional de su producto por ''a''. Por ejemplo, si el lector comienza una reproducción con su equipo de música a un volumen bajo y mueve el control del volumen un poco, el volumen aumentará un poco. Si ahora gira el control el doble, el volumen aumentará el doble. Este es un ejemplo de una respuesta lineal. En un sistema no lineal, tal como el de (Lorenz), la superposición lineal falla y un sistema no necesita cambiar proporcionalmente al cambio en la variable. Si se sube demasiado el volumen, el volumen no solo puede aumentar más de lo debido, sino que también pueden aparecer silbidos y otras distorsiones en el sonido. Estos son ejemplos de una respuesta no lineal.
# Las características arrojadas por nuestros análisis matemáticos, e.g. la caracterización de inestabilidad, ¿podrían terminar siendo no más que sobresimplificaciones o resultar tan problemáticas al punto de que su aplicación para los sistemas físicos no sea de utilidad?
Más aún, la definición de Kellert podría ser demasiado amplia como para incluir solamente comportamientos caóticos. Por ejemplo, sea ''xnx<sub>n</sub>''+1 = ''cxncx<sub>n</sub>''| un mapa iterativo. Este mapa exhibe, obviamente, órbitas que son inestables y aperiódicas únicamente. Por ejemplo, para los valores escogidos ''c ''= 1.1| y ''x''<sub>0 </sub> = .5|, las iteraciones sucesivas continuarán aumentando sin nunca regresar al valor original ''x''<sub>0</sub>|. Así que la definición de Kellert clasificaría el mapa como caótico, pero el mapa no posee ninguna otra propiedad que lo califique como caótico. Esto sugiere que la definición de Kellert incluye un conjunto mayor de comportamientos que los normalmente aceptados como caóticos.
Parte del artículo (1993) de Robert Batterman discute definiciones problemáticas del caos, a saber, aquellas que se enfocan en las nociones de impredecibilidad. Ciertamente, esto no resulta necesario ni suficiente para diferenciar al caos del simple comportamiento aleatorio. Y de hecho Batterman no especifica una definición alternativa de caos. Lo que sugiere, es que la inestabilidad exponencial –la divergencia exponencial entre dos trayectorias que partieron de una misma vecindad– es una condición necesaria, pero deja abierta la cuestión de si esta condición resulta también suficiente.
(DSF)
∃λ tal que para casi todos los puntos '''''x'''''(0), ∀δ>0 ∃''t''>0 tal que para todos los puntos '''''y'''''(0) en una pequeña vecindad (δ) en torno a '''''x'''''<nowiki>(0) [ |</nowiki>'''''x'''''(0) − '''''y'''''(0)|<δ y |'''''J'''''('''''x'''''(''t'')) − '''''J'''''('''''y'''''(''t''))| ≈ |'''''J'''''('''''x'''''(0)) − '''''J'''''('''''y'''''(0))|''e''<sup>λ''t''<(sup>],
donde la salvedad “casi todos” debe entenderse como aplicada a todos los puntos en un espacio de estados excepto por un conjunto de medida cero. Aquí λ se interpreta como el exponente global máximo de Lyapunov (ver Apéndice) y se considera que representa la tasa promedio de divergencia de las trayectorias vecinas que parten desde alguna pequeña vecindad centrada en torno a '''''x'''''(0). Cuando λ>0 significa que habrá un crecimiento exponencial (en cambio, si λ<0 habrá convergencia). En general, dicho crecimiento no puede extenderse por siempre. Si el sistema está limitado en el espacio y en el momento, habrá límites acerca de qué tanto pueden divergir las trayectorias vecinas unas de otras.
Una estrategia para divisar una definición de caos es comenzar con mapas discretos para luego generalizar hacia los casos continuos. Por ejemplo, si uno comienza con un sistema continuo, usando la superficie de sección de Poincaré –a grandes rasgos, se define un plano bidimensional y se mapean las intersecciones de las trayectorias con este plano–, entonces un mapa discreto puede ser generado. Si el sistema continuo original exhibe un comportamiento caótico, entonces el mapa discreto generado por la superficie de sección también será caótico porque dicha sección también conservará las mismas propiedades tipológicas que el sistema continuo. La influyente definición del caos de Robert Devaney de (1989) fue propuesta justo de esta manera.
Sea ''f ''una función definida en el espacio de estados ''S''. Para el caso continuo ''f ''variará continuamente en ''S ''y podremos tener una ecuación diferencial que especifica cuánto varía ''f''. Para el caso discreto ''f ''puede ser pensada como un mapeo que puede ser sujeto a múltiples iteraciones o nuevas aplicaciones. Para indicar esto, podemos escribir ''fnf<sup>n</sup>''(''x''), que significa que ''f ''es la ''n ''iteración. Por ejemplo, ''f''<sup>3</sup>(''x'') indicaría que ''f ''ha sido aplicada tres veces, ''f3f''<sup>3</sup>(''x'') = ''f''(''f''(''f''(''x''))) (El artículo de Robert May de 1976 ofrece una interesante explicación sobre el mapeo ''x''<sub>n+1</sub>= ''rxnrx<sub>n</sub>(''1 − ''xnx<sub>n</sub>''), que deviene en el modelado de la dinámica de las relaciones presa-predador). Más aún, sea ''K ''un subconjunto de ''S''. Entonces ''f''(''K'') representa la aplicación de ''f ''al conjunto de puntos ''K'', esto es, ''f ''mapea el conjunto ''K en f''(''K''). Si ''f''(''K'') = ''K'', entonces ''K ''es un conjunto ''invariante ''bajo ''f''.
Ahora bien, la definición de Devaney puede formularse de la siguiente manera:
Otra posibilidad para capturar el concepto de estiramiento y plegado de las trayectorias tan característico de las dinámicas caóticas, es el siguiente:
('''Caos'''<sub>''h''</sub>)
Un mapeo discreto ''f ''es ''caótico ''si para alguna iteración ''n ''≥1, se mapea el intervalo unidad ''I ''en una herradura (ver figura 2).
En la literatura también se han sugerido otras posibles definiciones. Por ejemplo (Smith 1998, 181-2),
('''Caos'''<sub>''et''</sub>)
Un mapeo discreto es caótico si se da el caso de que exhibe ''entropía topológica: ''Sea ''f ''un mapeo discreto y {''WiW<sub>i</sub>''} una partición sobre una región acotada ''W'' conteniendo una medida de probabilidad invariante bajo ''f. ''Entonces, la entropía topológica queda definida como ''hTh<sub>T</sub>'' (''f'') = sup<sub>{''WiW<sub>i</sub>''}''h''(''f'',{''WiW<sub>i</sub>''})</sub>, donde sup es el supremo del conjunto {''WiW<sub>i</sub>''}.
Aproximadamente, dados los puntos de una vecindad ''N ''alrededor de '''''x '''''(0) con una distancia menor que ε unos de otros, y después de ''n'' iteraciones de ''f, ''las trayectorias iniciadas en los puntos de ''N'' diferirán por valores similares a ε o mayores, y cada vez más trayectorias diferirán por al menos ε mientras ''n ''aumente. En el caso de mapas unidimensionales puede mostrarse, sin embargo, que Caos<sub>''h'' </sub> implica Caos<sub>''teet''</sub>. Así que no parece que se trate de una definición básica, aunque relativamente resulte más útil para probar ciertos teoremas que otras definiciones.
Otro candidato que frecuentemente se encuentra en la literatura es
('''Caos'''<sub>λ</sub>)
Un mapa discreto es caótico si tiene un exponente global de Lyapunov positivo.
====Problemas con los exponentes de Lyapunov y la dependencia sensible====
Uno podría pensar que DSF, Chaos<sub>''teet'' </sub> o Chaosλ Chaos<sub>λ</sub> serían suficientes para definir caos, pero estas caracterizaciones encuentran problemas incluso en simples contraejemplos. Para dar una muestra, considérese un sistema dinámico discreto con ''S ''<nowiki>= [0, </nowiki>∞), el valor absoluto de la métrica en '''R''', (i.e. como una función que define la distancia entre dos puntos), y un mapeo ''f''<nowiki>: [</nowiki>(0, ∞) → <nowiki>[0,</nowiki>∞), ''f''(''x'') = ''cx'', donde ''c''>1. En este sistema dinámico todas las trayectorias vecinas divergen exponencialmente rápido, pero todas se aceleran hasta el infinito. Sin embargo, la dinámica caótica se caracteriza por quedar confinada a algún atractor –un atractor extraño en el caso de sistemas disipativos (ver la sección 5.1 más adelante) o la energía de superficie en el caso de los sistemas hamiltonianos. Este confinamiento no necesariamente se debe a los muros físicos de algún contenedor. Si, en el caso del caos hamiltoniano, la dinámica queda confinada por la energía de superficie (por la acción de una fuerza como pudiera serlo la de gravedad), la superficie podría resultar espacialmente no acotada. Así, en última instancia, se requieren condiciones adicionales (por ejemplo, que se garantice que las trayectorias en el espacio de estados sean densas).
En mucha de la literatura sobre física y filosofía, algo muy parecido al siguiente conjunto de condiciones se asume como una definición adecuada de caos:
# Las trayectorias quedan confinadas por algún tipo de mecanismo de estiramiento y plegado.
# Algunas órbitas son aperiódicas, lo que significa que no se repiten nunca sin importar la escala del tiempo.
# Las trayectorias exhiben DSF o CaosλCaos<sub>λ</sub>.
De estas tres condiciones, (c) es la que se considera frecuentemente tomada como crucial para definir DSCI y, con frecuencia se sospecha que está relacionada con las otras dos. En otras palabras, el crecimiento exponencial en la separación de trayectorias vecinas caracterizadas por λ es tomada como la propiedad de un tipo particular de dinámica que solo puede existir en sistemas y modelos no lineales.
La otra preocupación es que las definiciones que hemos estado considerando puedan solo mantenerse para nuestros modelos matemáticos sin poder ser aplicables a los sistemas de estudio. Las definiciones formales buscan caracterizar completamente el comportamiento caótico en los modelos matemáticos, pero nosotros también estamos interesados en capturar el comportamiento caótico de los sistemas biológicos y físicos. Fenomenológicamente, todos los tipos de comportamiento caótico que vemos en los sistemas del mundo real exhiben características como DSCI, aperiodicidad, impredecibilidad, inestabilidad bajo pequeñas perturbaciones y apariencia aleatoria. Sin embargo, dado que los sistemas de estudio subsisten únicamente durante lapsos finitos de tiempo y dado que las incertidumbres son siempre más que infinitésimas, dichos sistemas violan las suposiciones necesarias para derivar la DSF. En otras palabras, incluso si tenemos buenas medidas estadísticas para la producción de crecimiento exponencial en promedio para las incertidumbres de los conjuntos de información física, ¿qué es lo que garantiza que de hecho tengamos una correspondencia con el crecimiento exponencial de la DSF? Después de todo, cualquier crecimiento en las incertidumbres (alternativamente, cualquier crecimiento en la distancia entre cualesquiera trayectorias vecinas) puede ser ajustado con una exponencial. Puesto que no hay un significado físico para los exponentes globales de Lyapunov (porque ellos solo aplican a incertidumbres infinitesimales), entonces uno es libre de escoger cualquier parámetro para ajustar una exponencial al crecimiento de las incertidumbres.
==Caos, determinismo y mecánica cuántica==
Una de las características más estimulantes de la DSCI es que no hay un límite inferior respecto a cuán pequeño el cambio o la perturbación puede ser –el más pequeño efecto podrá ser eventualmente amplificado afectando el comportamiento de cualquier sistema que exhiba DSCI. Varios autores han defendido que el caos, a través de la DSCI, abre la puerta para que la mecánica cuántica “infecte” los sistemas caóticos de la mecánica clásica (e.g. Hobbs 1991; Barone ''et al. ''1993; Kellert 1993; Bishop and y Kronz 1999; Bishop 2008). El punto esencial es que la naturaleza de los distintos tipos de dinámica no lineal –aquellos que exhiben un plegado y estirado de trayectorias, donde se exhiben orbitas aperiódicas y no hay cruce de trayectorias–, aparentemente abre la puerta para que los efectos cuánticos cambien el comportamiento de los sistemas caóticos macroscópicos. El argumento central es conocido como el argumento de la dependencia sensible (argumento SD para abreviar) y se explica de la siguiente manera:
# Para sistemas que exhiben DSCI, las trayectorias que parten de una región altamente localizada del espacio de estados en promedio divergirán exponencialmente más rápido unas de otras.
# La mecánica cuántica limita la precisión con la que los sistemas físicos pueden ser definidos a un espacio fase no menor a (2π⁄''h'')<sup>''N''</sup>, donde ''h ''es la constante de Planck (con unidades de acción) y ''N'' la dimensión del sistema en cuestión.
# Dado un tiempo suficiente y dentro de una vecindad ε para las condiciones iniciales, dos trayectorias ligadas según la mecánica cuántica del mismo sistema caótico tendrán estados futuros localizables dentro de una región δ del espacio fase (Esto se sigue de (A) y (B)).
# Por lo tanto, la mecánica cuántica podrá afectar los resultados de los sistemas caóticos conduciendo a una violación de la evolución única.
