Autores, Editores, Burócratas, Administradores
2246
ediciones
sin resumen de edición
Dos nociones muy importantes en el formalismo de historias cuánticas son la noción de ''espacio muestral'' (Griffiths 1996, 2760; 1998, 1605) y, asociada a la anterior, la noción de ''contexto'' (Vanni, 2010, 48; Laura y Vanni 2010). Diremos que un particular ''espacio muestral'' asociado a una magnitud [[File:1HMQimage00.png]] es el conjunto de propiedades que queda determinado por una partición completa en subconjuntos disjuntos de su espectro. En forma más clara, si [[File:1HMQimage00.png]] es una magnitud representada por un operador en un espacio de Hilbert de dimensión [[File:1HMQimage017.png]] y su espectro viene dado por [[File:1HMQimage124.png]], entonces una partición con el requerimiento mencionado será por ejemplo [[File:1HMQimage126.png]], [[File:1HMQimage128.png]], [[File:1HMQimage130.png]], [[File:1HMQimage132.png]]. De esta manera, el espacio muestral asociado a la magnitud [[File:1HMQimage00.png]], con esa partición, quedará determinado por el conjunto de propiedades representadas por los proyectores de la forma [[File:1HMQimage135.png]]. La partición es disjunta porque cada [[File:1HMQimage137.png]] tiene intersección nula con los restantes, y es completa porque la unión de todos los [[File:1HMQimage137.png]] constituyen el espectro completo de [[File:1HMQimage00.png]]. Esto resulta en el hecho de que los [[File:1HMQimage142.png]] representen propiedades de valor, o rango de valores de [[File:1HMQimage00.png]], que son excluyentes y exhaustivas; por consiguiente, dichos [[File:1HMQimage142.png]] serán ortogonales, [[File:1HMQimage147.png]], y además sumarán la identidad del espacio de Hilbert del sistema [[File:1HMQimage149.png]]. Se dice que los [[File:1HMQimage142.png]] que cumplen estas dos últimas propiedades forman una ''descomposición proyectiva'' de la identidad asociada a la magnitud [[File:1HMQimage00.png]]. Hacemos notar que los [[File:1HMQimage142.png]] no son necesariamente autoproyectores de, porque no necesariamente representan propiedades de valor único. Son suma de subconjuntos disjuntos de autoproyectores de [[File:1HMQimage00.png]]. Sólo en el caso particular de tener la partición más refinada posible del espectro de [[File:1HMQimage00.png]], dada por [[File:1HMQimage157.png]], tendremos que [[File:HMQimage163.png]]. En ese caso, los [[File:1HMQimage142.png]] son iguales a los autoproyectores de [[File:1HMQimage00.png]], y así [[File:1HMQimage149.png]] es la descomposición habitual de la identidad en términos de los autoproyectores de [[File:1HMQimage00.png]]. Otra cosa que es importante subrayar es que los proyectores que determinan una descomposición proyectiva conmutan entre sí; por lo tanto, representan propiedades cuánticas compatibles.
Un ''contexto'', por otro lado, es el conjunto de todas las propiedades formadas a partir de las disyunciones del espacio muestral, es decir a partir de las disyunciones de los elementos [[File:1HMQimage142.png]] que forman una descomposición proyectiva de la identidad. Al ser los [[File:1HMQimage142.png]] ortogonales, las disyunciones que se generan a partir de éstos se reducen a simples sumas sobre los [[File:1HMQimage142.png]]; por lo tanto, cualquier propiedad del contexto se podrá representar como[[File:2HMQimage003.png]], con [[File:2HMQimage005.png]] igual o bien a 0, o bien a 1. Como vemos un contexto es generado completamente por un espacio muestral, y las propiedades asociadas a los [[File:1HMQimage142.png]] en el espacio muestral que generan dicho contexto, son llamadas ''elementos mínimos del contexto''. De este modo, un contexto es el conjunto de todas las propiedades que se pueden predicar respecto de la magnitud [[File:1HMQimage00.png]] y, por supuesto, de cualquier otra magnitud que conmuta con [[File:1HMQimage00.png]], ya que en ese caso tendrán un conjunto común de autoproyectores (Sakurai 1994, 29) y, por consiguiente podrán compartir un contexto común. Para cada magnitud [[File:1HMQimage00.png]], existirá un contexto que determina el universo de discurso de sus propiedades, las cuales son representadas por operadores que conmutan. Dos magnitudes incompatibles, es decir, cuyos operadores no conmutan, no podrán pertenecer a un contexto común. Es importante notar que, dentro de cada contexto, el conjunto de sus propiedades con las operaciones lógicas definidas arriba, forman una subestructura booleana (Vanni 2010, 48-49). Esto se debe esencialmente al hecho de que, en cada contexto, los proyectores que representan las propiedades dentro de él conmutan entre sí. Las características cuánticas asociadas a la pérdida de booleaneidad aparecen al combinar propiedades de distintos contextos. Esto puede verse en la representación dada por la Figura 1. Figura 1 Tenemos las propiedades [[File:2HMQimage014.png]] y su negación [[File:2HMQimage016.png]] correspondientes respectivamente a los subespacios [[File:2HMQimage018.png]] y [[File:2HMQimage020.png]], en la figura representados por los ejes cartesianos en un espacio de dimensión igual a 2. Consideremos que una propiedad [[File:2HMQimage023.png]], representada por el subespacio [[File:2HMQimage025.png]], se asigna al sistema. Como vemos, el subespacio [[File:2HMQimage025.png]] no está incluido en [[File:2HMQimage018.png]], pero llamativamente, tampoco en su complemento [[File:2HMQimage020.png]]. En términos de propiedades tenemos que dado [[File:2HMQimage023.png]], resulta [[File:2HMQimage030.png]], ya que las rectas asociadas a [[File:2HMQimage025.png]] y [[File:2HMQimage018.png]] tienen al cero como intersección; pero por la misma razón, se tiene también que [[File:2HMQimage034.png]]. Esto es una característica que no tiene precedente clásico cuando pensamos a las propiedades en términos de conjuntos. Si un conjunto tiene intersección nula con otro, no puede tener también intersección nula con su complemento. Cuánticamente esta idea lógica elemental, propia de una estructura booleana, no se cumple. Estas características cuánticas se han puesto de manifiesto en el ejemplo porque se ha predicado sobre propiedades pertenecientes a distintos contextos. Aquí [[File:2HMQimage036.png]] es el espacio muestral que determina un contexto, donde valen las características booleanas, y [[File:2HMQimage038.png]] es el espacio muestral que determina otro contexto, donde también valen las características booleanas. Las características booleanas se pierden, sin embargo, cuando se intenta incorporar los dos contextos en otro que los contenga. Volveremos a encontrarnos con esta peculiaridad luego de definir una noción generalizada de contexto de historias. Hasta ahora hemos hablado de propiedades, pero además de ellas es necesario encontrar una representación de la noción de estado, por medio de la cual se asignan dichas propiedades al sistema. Pues bien, la forma más básica de representar el estado de un sistema cuántico es por medio de un vector de norma igual a uno en el espacio del Hilbert, que denotaremos con [[File:2HMQimage041.png]] y llamamos ''vector de estado'' (Hughes 1989, 63; Sakurai 1994, 11). Una propiedad de valor correspondiente a una magnitud física, con certeza podrá asignarse a un sistema, si el vector de estado del sistema pertenece al subespacio asociado a la propiedad, y con certeza no podrá ser asignada si pertenece al complemento ortogonal de dicho subespacio. Como vemos, esto tiene una reminiscencia de la situación clásica en términos de pertenencia del estado clásico a una cierta región o a su complemento en el espacio de fase. Sin embargo, las diferencias son muchas, el estado puede no pertenecer ni al subespacio asociado a la propiedad, ni al complemento ortogonal de dicho subespacio; en este caso no puede afirmarse con certeza ni que la propiedad se asigna al sistema ni que la propiedad no se asigna. En el formalismo de operadores de estado, el vector de estado [[File:2HMQimage041.png]] también puede ser representado por el correspondiente operador de estado [[File:2HMQimage043.png]] que, como vemos, también es un proyector, y por lo tanto también representativo de una propiedad (Ballentine 1990, 37). Estados de este tipo, representados por un proyector, son llamados estados puros porque asignan certezas pero, a diferencia del caso clásico, no asignan certezas a todas las propiedades (Hughes 1989, 92); asignan certeza sólo un conjunto determinado de propiedades: el conjunto de propiedades representadas por el mismo proyector de estado [[File:2HMQimage044.png]], con el agregado de todas aquéllas representadas por proyectores ortogonales a [[File:2HMQimage044.png]]. En el caso más general, el estado de un sistema cuántico es representado por una mezcla de estados puros dada por [[File:2HMQimage048.png]], donde los [[File:2HMQimage050.png]] son reales positivos y suman uno (Ballentine 1990, 37; Sakurai 1994, 174-177). En este caso, el estado no puede asignar certeza a ninguna propiedad, sino sólo asigna probabilidades. La asignación de probabilidades está dada por la llamada ''regla de Born'' y vale para estados puros o no (Hughes 1989, 147; Ballentine 1990, 42). Si [[File:2HMQimage051.png]] es el operador de estado, y [[File:2HMQimage053.png]] es el proyector asociado a una propiedad de valor [[File:2HMQimage023.png]], entonces dicha propiedad puede ser asignada al sistema con una probabilidad dada por [[File:2HMQimage056.png|center]] <div align="right">(1.5)</div> donde el símbolo [[File:2HMQimage057.png]] significa la ''traza'' del producto [[File:2HMQimage059.png]] (Hughes 1989, 136-137; Ballentine 1990, 7; Sakurai 1994, 38). La ecuación fundamental que rige la evolución temporal de un estado cuántico es la llamada ''ecuación de Schrödinger'' (Hughes 1989, 77-78; Ballentine 1990, 68; Sakurai 1994, 71-72). La información dinámica de esta evolución es a menudo representada en términos de la aplicación sobre el vector de estado del llamado ''operador de evolución'', el cual, por su puesto, queda determinado por la ecuación Schrödinger. Llamaremos [[File:2HMQimage062.png]] al operador de evolución del tiempo [[File:2HMQimage063.png]] al tiempo [[File:2HMQimage065.png]]. Este operador cumple [[File:2HMQimage066.png]], [[File:2HMQimage069.png]], donde el símbolo [[File:2HMQimage071.png]] significa ''hermítico conjugado'' (Sakurai 1994, 15). El operador [[File:2HMQimage062.png]] es tal que, aplicado a un vector de estado al tiempo [[File:2HMQimage063.png]], nos devuelve el estado al tiempo [[File:2HMQimage065.png]], es decir [[File:2HMQimage075.png]] (Hughes 1989, 145-146; Ballentine 1990, 68-69; Sakurai 1994, 68-72). Al considerar que el estado evoluciona en el tiempo, las magnitudes físicas son consideradas fijas. Este es el llamado ''marco de Schrödinger''. Los operadores que representan magnitudes físicas en el marco de Schrödinger son llamados operadores de Schrödinger (Ballentine 1990, 69). En el marco de Schrödinger los estados se indicaran con dependencia temporal, y las magnitudes físicas no. Sin embargo, haciendo uso del mismo operador de evolución, es posible considerar una descripción temporal físicamente equivalente donde el estado es asumido independiente del tiempo, y son las magnitudes físicas las que se consideran dependientes del tiempo. Este es el llamado ''marco de Heisenberg''. Una magnitud física representada por un operador [[File:1HMQimage00.png]] en el marco de Schrödinger se relaciona con la misma magnitud física [[File:2HMQimage078.png]] en el marco de Heisenberg por medio de la formula [[File:2HMQimage080.png|center]] <div align="right">(1.6)</div> donde [[File:2HMQimage063.png]] es un tiempo de referencia usualmente tomado como cero (Ballentine 1990, 68-69; Sakurai 1994, 82). Es importante enfatizar que un sistema cuántico evoluciona en el tiempo (de acuerdo con la ecuación de Schrödinger) de forma completamente determinista, de modo que conociendo el estado a un tiempo inicial [[File:2HMQimage065.png]], queda determinado con certeza el estado para todo tiempo posterior [[File:2HMQimage084.png]]. Pese a ello, y aunque las magnitudes también puedan considerarse que evolucionan en el marco de Heisenberg en forma determinista, la evolución de los valores que dichas magnitudes pueden adoptar en términos de los resultados obtenidos en las mediciones es completamente indeterminista. Es en este punto que se recurre a una descripción probabilística, con la fórmula para las probabilidades dada por la regla de Born. (Hughes 1989, 78). Esta peculiar relación entre la evolución determinista del estado, y la asignación de propiedades en forma indeterminista producto de la medición, ha sido objeto de todo tipo de discusión y debate en el marco del llamado ''problema de la medición'', del cual volveremos hablar más adelante. Con esta breve introducción de las principales características formales de la mecánica cuántica, en especial referida a su representación de propiedades, estamos en condiciones de abordar los distintos formalismos de historias cuánticas. Comenzaremos con el de Historias Consistentes, que puede considerarse como el formalismo fundacional de los demás formalismos de historias cuánticas. ==Historias consistentes== El formalismo de ''Historias Consistentes'' fue desarrollado inicialmente por Robert Griffiths en la década de los ‘80 (Griffiths 1884). Más tarde, de la mano de Roland Omnès, y posteriormente con los trabajos de Murray Gell-Mann y James Hartle, se desarrollaron ciertas variantes, aunque sin modificar la esencia de la propuesta (Omnès 1988; Gell-Mann y Hartle 1990). La idea central del formalismo consiste en describir la evolución de un sistema cuántico en términos de historias construidas por medio de secuencia de propiedades consideradas a distintos tiempos. Bajo esta concepción, se prescinde de la noción de estado como el elemento que determina la evolución del sistema y que asigna propiedades de valor a las magnitudes. Ya sea el estado con su evolución, y las propiedades con su asignación, pasan a estar integradas en la misma noción de historia. Es cada historia, constituida de distintas propiedades a distintos tiempos, la que da cuenta de la evolución del sistema, la cual es considerada como una secuencia completamente estocástica desde su definición, y no debido a algún proceso de medición por medio del cual se introducen las probabilidades dadas por la regla de Born. El concepto de medición se despoja completamente de este papel especial de introducir el indeterminismo en la teoría (injustificado, por otro lado, puesto que los aparatos de medición están compuestos de los mismos sistemas microscópicos que la teórica cuántica pretende describir). En el formalismo de historias consistentes, todas las dependencias temporales se consideran indeterministas. Esto no significa que la ecuación de Schrödinger deje de ser tenida en cuenta: simplemente es considerada para otro propósito. Por medio el operador de evolución, la ecuación de Schrödinger permitirá generar una noción de peso probabilístico a cada historia, lo cual tendrá una importancia fundamental. Sin embargo antes de presentar esta cuestión, será necesario establecer una estructura lógica de historias dentro de la cual cada historia es pensada como una proposición elemental de evolución del sistema. Empezaremos por la construcción basada en los trabajos de Griffiths. ===La estructura lógica de historias de Griffiths=== Comencemos considerando un sistema cuántico en el marco de Schrödinger (donde las magnitudes físicas son consideradas fijas en el tiempo), con un espacio de Hilbert de dimensión [[File:1HMQimage017.png]], al que se quiere describir en términos de historias. Supongamos una secuencia de tiempos ordenada [[File:2HMQimage087.png]], y en cada tiempo [[File:2HMQimage088.png]] consideramos una cierta magnitud física [[File:2HMQimage090.png]] del sistema. En ese tiempo asumimos una particular descomposición proyectiva asociada [[File:2HMQimage090.png]], la cual suponemos representada por un conjunto de proyectores [[File:2HMQimage093.png]] correspondiente al rango de valores [[File:2HMQimage095.png]] del espectro de [[File:2HMQimage090.png]] al tiempo [[File:2HMQimage088.png]]. Por tratarse de una descomposición proyectiva, los [[File:2HMQimage093.png]] deberán cumplir (para cada [[File:2HMQimage096.png]]) [[File:2HMQimage099.png]], y [[File:2HMQimage101.png]], siendo [[File:2HMQimage103.png]] la identidad del espacio de Hilbert del sistema. El conjunto de proyectores [[File:2HMQimage093.png]] representan las propiedades de rango de valor en [[File:2HMQimage095.png]] que conforman el espacio muestral asociado a la magnitud [[File:1HMQimage00.png]] en el tiempo [[File:2HMQimage088.png]]. De este modo, tendremos un espacio muestral de propiedades a cada tiempo. El siguiente paso es construir un espacio muestral de secuencias de propiedades tomadas del espacio muestral a cada tiempo, es decir, un espacio muestral de historias, que vistas como propiedades compuestas (de propiedades a distintos tiempos) puedan ser representadas por proyectores que constituyan una descomposición proyectiva de la identidad en un espacio de Hilbert de historias. La idea es que al definir operaciones lógicas dentro del espacio muestral de historias, dichas historias también puedan considerarse como proposiciones, proposiciones mínimas de evolución de cuyas disyunciones se pueda generar un contexto de historias, noción que, como hemos visto, nos asegura una estructura lógica booleana. El contexto de historias, con las magnitudes consideradas a los tiempos considerados, formará un universo de discurso de las evoluciones del sistema y respetará las leyes de la estructura lógica clásica. Sin embargo, se presenta aquí la dificultad de cómo representar historias para construir su espacio muestral en términos de proyectores que constituyan una descomposición proyectiva, y así puedan generar el correspondiente contexto de historias. El problema consiste en incorporar la representación de las distintas propiedades que participan a distintos tiempos, aun cuando en general éstas pueden resultar incompatibles. En el formalismo original de Griffiths, este problema se logra sortear considerando que la descripción de distintas propiedades de un mismo sistema a distintos tiempos es equivalente a la descripción de cada una de esas propiedades en un sistema dentro de una colección de sistemas considerados simultáneamente (Griffiths 1996, 2761; Griffiths 2002, 112). Dicho de otra manera, se asume que, para cada [[File:2HMQimage096.png]], el conjunto de los [[File:2HMQimage093.png]] constituye la descomposición proyectiva asociada a la variable [[File:2HMQimage090.png]] del sistema etiquetado con el índice [[File:2HMQimage096.png]] dentro de un conjunto de [[File:2HMQimage109.png]] sistemas idénticos. De este modo, el proyector de una historia puede ser construido mediante el producto tensorial de los proyectores [[File:2HMQimage093.png]]. Así, una posible historia podrá representada por: [[File:2HMQimage111.png|center]] <div align="right">(2.1)</div> donde [[File:2HMQimage112.png]] indica el índice múltiple dado por [[File:2HMQimage114.png]], siendo cada [[File:2HMQimage115.png]] el índice que etiqueta un proyector en descomposición proyectiva asociada a la variable al tiempo [[File:2HMQimage088.png]] y que, por lo tanto, representa la propiedad de valor de [[File:2HMQimage090.png]] en el rango [[File:2HMQimage095.png]]. El símbolo [[File:2HMQimage118.png]] representa el producto tensorial habitual (Hughes 1989, 148-149; Griffiths 2002, 82-85). Debido a que el espacio de Hilbert de una colección de sistemas es el producto tensorial de cada espacio de Hilbert por separado, tendremos que el espacio de Hilbert de historias, que llamaremos
