Modelos científicos

Los filósofos de la ciencia han reconocido, desde hace ya varias décadas, que una de las principales actividades de la práctica científica normal consiste en la construcción y aplicación de modelos. Una descripción de estas prácticas de la ciencia, que son tanto teóricas como experimentales, muestra que hay numerosos tipos de modelos científicos, entre otros, mapas, maquetas, íconos, prototipos, sistemas de ecuaciones y simulaciones computacionales. Un modelo, por consiguiente, puede ser tanto un objeto concreto como uno abstracto. Además, es evidente que los modelos desempeñan funciones muy diversas, que van desde la predicción teórica hasta la enseñanza de la ciencia. La función heurística de los modelos se admite de manera casi unánime. La capacidad explicativa de los modelos, en cambio, ha sido más discutida. En cualquier caso, la finalidad con la que se construyen los modelos depende de los intereses de los usuarios de tales modelos. Un mismo modelo puede desempeñar varias funciones a la vez en un mismo contexto de aplicación, así como migrar, usualmente luego de sufrir modificaciones, de un contexto a otro, e incluso de una disciplina a otra diferente.

La concepción predominante de los modelos ha procurado comprenderlos en función del concepto de representación. De esta manera, los modelos se han concebido como representaciones (idealizadas o simplificadas) de los fenómenos, de modo que el carácter representativo sería la propiedad esencial que los diferentes tipos de modelos tienen en común. Sin embargo, el concepto mismo de representación, que proviene de la filosofía del lenguaje y de la mente, ha sido refractario al análisis filosófico, por lo que no existe una teoría de la representación científica que tenga consenso en la comunidad los filósofos de la ciencia. Frente a esta dificultad, se ha intentado elaborar una concepción no representacionista de los modelos, que todavía es incipiente.

1 Los modelos en la filosofía de la ciencia   ↑

El concepto de modelo ha adquirido un papel cada vez más preponderante en la filosofía de la ciencia desde el último cuarto del siglo XX hasta la actualidad. La filosofía de la ciencia como disciplina autónoma se origina en la década de 1930 y se propone como una de sus tareas principales elucidar la noción de teoría. Los ejemplos paradigmáticos los proveen las nuevas teorías de la física desarrolladas a partir de la segunda mitad del siglo XIX, tales como la electrodinámica de Maxwell, la termodinámica, y la física estadística, o en las primeras tres décadas del siglo XX, en particular, la relatividad especial y general y la mecánica cuántica no relativista. La estructura de las teorías científicas y la relación de las teorías con la experiencia constituyen las preocupaciones fundamentales de los filósofos clásicos de la ciencia (como Carnap, Reichenbach, Nagel, Hempel, e incluso Popper, entre muchos otros) hasta aproximadamente la década de 1970. A partir de esa fecha, las teorías comienzan a ceder el lugar privilegiado que habían ocupado hasta entonces como objeto de estudio epistemológico. Los filósofos de la ciencia colocan en el centro de su atención el concepto de modelo más que el de teoría (y, en consecuencia, la relación misma entre teorías y modelos se vuelve un problema epistemológico). A comienzos del siglo XXI un filósofo como Frederick Suppe (2000) expresa bien el espíritu de la época cuando afirma que los auténticos vehículos del conocimiento científico no son las teorías, sino los modelos. Por su parte, C. Ulises Moulines (2011) categoriza como “modelística” a la última fase del desarrollo de la filosofía de la ciencia del siglo XX, aquella que se inicia, precisamente, hacia 1970.

Los modelos científicos habían sido discutidos por científicos y filósofos desde mediados del siglo XIX, particularmente en el campo de la física, como ha mostrado Daniela Bailer-Jones (2009). En la década de 1960, Max Black (1962), Mary Hesse (1963) y Peter Achinstein (1968) escribieron los primeros estudios filosóficos detallados sobre los modelos en ciencia. Antes ya se había producido una buena cantidad de artículos sobre el tema, pero de manera relativamente aislada (Bailer-Jones 2009 contiene una bibliografía detallada de estas obras más antiguas). El cambio en el enfoque de los filósofos de la ciencia durante la década de 1970 se debe a dos razones principales. La primera de ellas es el surgimiento de la concepción semántica o modelo-teórica de las teorías científicas como alternativa a la concepción clásica, que había sido elaborada desde la década de 1930 y todavía se encontraba vigente. De acuerdo con la concepción semántica (que se analiza con más detalle en la sección 4), una teoría no es un conjunto de oraciones lógicamente cerrado, sino una colección de modelos. De esta manera, los modelos pasan a concebirse como constitutivos de las propias teorías científicas, cuando hasta entonces habían sido considerados como ajenos a las teorías, o al menos, como meros complementos ilustrativos o ejemplificadores. La segunda razón proviene de la creciente orientación de los filósofos de la ciencia hacia el análisis de las prácticas científicas concretas, sobre todo a partir de la década de 1980. El estudio de las prácticas científicas reveló a los filósofos, entre muchas otras novedades, que la producción de teorías es un fenómeno relativamente poco frecuente y no ocupa un lugar preponderante en la tarea científica cotidiana. En la práctica de la ciencia normal, en cambio, resulta mucho más importante la elaboración y el empleo de modelos, frecuentemente con una finalidad puramente instrumental y de carácter predictivo.

Aunque es indudable que el estudio de los modelos científicos desempeña un papel importante en la agenda de los filósofos de la ciencia de la actualidad, ese papel no es en modo alguno excluyente. Una buena parte de la investigación filosófica de las últimas décadas se ha ocupado, entre muchos otros, de asuntos tales como la explicación científica, la confirmación de hipótesis o la experimentación, temas que frecuentemente se han desarrollado con independencia del concepto de modelo. Es claro que hay muchos problemas de la filosofía de la ciencia que no tienen relación con los modelos o la modelización. Por otra parte, tampoco parece razonable sostener que los modelos son el único vehículo del conocimiento científico, ya que, sin duda, también lo son las teorías. La modelización de los fenómenos es una de las empresas más importantes de la ciencia actual, pero es una entre muchas otras. La ciencia es una actividad que tiene múltiples aspectos y funciones que difícilmente puedan unificarse mediante el concepto de modelo.

2 La pragmática de los modelos   ↑

La primera dificultad con la que se encuentra el estudio de los modelos científicos es la ambigüedad del propio término “modelo”. Este es un término polisémico que tiene una diversidad de significados y usos, tanto en el discurso de los filósofos de la ciencia como en el de los propios científicos. Esta multiplicidad de significados hace que sea muy difícil, e incluso prematuro intentar una clasificación de los tipos de modelos que se emplean en la ciencia. Lo mejor que puede hacerse, en la situación actual, es caracterizar algunos de los tipos de modelos más importantes que se usan en diferentes ciencias.

Ante todo, existe un significado unívoco y preciso del término modelo en la matemática y las ciencias formales. Este es el sentido con que se lo emplea en la teoría de modelos, una rama de la lógica matemática ya bien desarrollada (que se describe brevemente en la sección 3). Sobre este concepto específico de modelo no hay mayores desacuerdos entre los filósofos de la ciencia. La situación es muy diferente en el campo de las ciencias empíricas, tanto naturales como sociales, donde existe una diversidad de usos del término, la mayoría de los cuales presenta, además, un cierto grado de vaguedad. La gran mayoría de las discusiones entre los filósofos de la ciencia se refieren a los modelos en las ciencias empíricas, sobre los cuales existen pocos puntos de acuerdo generalizado y persisten muchos disensos.

Un examen, incluso muy parcial y somero, de la bibliografía científica en ciencias tales como la física o la biología muestra que el término modelo se emplea de una manera altamente informal y a menudo incluso descuidada. Muchos científicos no distinguen entre modelo y teoría y usan estos dos términos de manera indistinta. Así, por ejemplo,  cuando se discuten las diferentes interpretaciones de la mecánica cuántica, los libros de texto de física se refieren a la teoría de variables ocultas de David Bohm como “la teoría de Bohm” o “el modelo de Bohm” (también “la interpretación de Bohm”), como si estas expresiones fueran sinónimas. Existe, pues, un uso bastante extendido del término que, o bien identifica a los modelos con las teorías, o bien considera a los modelos como una subclase de las teorías (esto es, como teorías de dominio restringido).

Cuando en los usos científicos se intenta distinguir entre modelos y teorías, suelen señalarse algunas de estas características:

a) Los modelos suelen tener un ámbito de aplicación sumamente restringido y acotado mientras que las teorías pretenden tener un dominio de aplicación mucho más amplio, o incluso, para algunos, un dominio universal o irrestricto.

b) Los modelos tienen un carácter híbrido en tanto están formados por hipótesis que pertenecen a diferentes teorías, además de incorporar datos empíricos de diferentes niveles, mientras que las teorías son mucho más homogéneas y unificadas.

c) Los modelos parecen tener en muchos casos un carácter provisorio, hasta el punto de que a veces se construyen con la finalidad de resolver un solo problema específico, perteneciente a un contexto dado de investigación, y luego se abandonan o descartan. Los modelos suelen tener una vida muy efímera. Las teorías, en cambio, aunque nunca son completamente estables, tienen un carácter más duradero y permanente.

d) Los modelos presentan un cierto grado, a veces muy elevado, de idealización, que aquí entenderé como una simplificación o distorsión deliberada, mientras que las teorías resultan generalmente menos idealizadas, aunque casi siempre más abstractas que los modelos.

e) Los modelos tienden a proliferar, es decir, se tiende a emplear múltiples modelos diferentes, a menudo incompatibles entre sí, para dar cuenta de un mismo dominio de fenómenos. Las teorías, en cambio, tienden a unificarse, al menos como ideal, de manera que alcancen la mayor generalidad posible y sean capaces de abarcar el mayor número de fenómenos.

Todas estas características varían bastante según el contexto o la ciencia de que se trate, pero se encuentran indudablemente presentes en el uso que los científicos hacen del término modelo. Desde el punto de vista filosófico, sin embargo, no son propiedades que permitan hacer una distinción clara y nítida entre modelos y teorías. Si se las empleara para ello, la conclusión que podría obtenerse es que la diferencia entre un modelo y una teoría es una cuestión de grado. Algunos filósofos estarían dispuestos a aceptar esta consecuencia, pero otros la rechazarían sin dudarlo.

Cuando se atiende a los ejemplos de modelos que ofrecen los científicos, se obtiene una diversidad que parece desconcertante (como ha señalado Bailer-Jones 2009). Se puede constatar que se llama modelo, entre otras cosas, a los siguientes objetos: íconos, prototipos, maquetas, mapas, diagramas, sistemas de ecuaciones, programas de computación, y la lista podría continuarse. ¿Qué tienen en común todos estos objetos para ser llamados modelos? Una respuesta ampliamente extendida entre los filósofos de la ciencia es que todos ellos se emplean para representar un determinado fenómeno o dominio de fenómenos. Se admite, no obstante, que los modelos no proporcionan una representación visual o fotográfica de los fenómenos sino, inevitablemente, una representación aproximada, simplificada y a menudo distorsionada de los fenómenos que caen bajo su alcance. Usualmente se engloba este hecho bajo la categoría de idealización y se admite que los modelos proporcionan una representación idealizada de los fenómenos. La siguiente, entonces, podría considerarse como una caracterización minimal de los modelos científicos: Un modelo científico es una representación idealizada de un determinado fenómeno o dominio de fenómenos.

Existe otro uso del término “modelo” que es el que se emplea cuando se hace referencia a los modelos de los datos, cuyo análisis filosófico introdujo Patrick Suppes (1962). Generalmente las predicciones derivadas de una teoría o de un modelo no se contrastan por medio de los llamados “datos crudos” de la observación, sino mediante un modelo de tales datos. Este tipo de modelo también se considera una representación idealizada, pero de los resultados de la experiencia, por ejemplo, de mediciones repetidas de una magnitud. Los modelos de los datos se obtienen mediante la aplicación de instrumentos estadísticos a los datos crudos. Primero, se toman determinadas muestras de los fenómenos que se quiere observar o medir. Después, se eliminan los datos que se consideran erróneos o divergentes, en el proceso llamado reducción de datos. Luego, se analizan los datos seleccionados, por ejemplo, un conjunto de resultados de mediciones repetidas de un determinado parámetro físico, y se determina la media (y otras medidas de tendencia central), se calcula la desviación estándar (y otras medidas de dispersión), se elabora un histograma, o se ajusta una curva, o bien se construye otra forma de presentación de los datos que se estime adecuada. El resultado de este proceso es un modelo de los datos con el cual se comparan las predicciones teóricas, que se consideran confirmadas si caen dentro del margen del error experimental incorporado al modelo. Los modelos de los datos plantean interesantes cuestiones filosóficas relacionadas con la epistemología de los étodos estadísticos (véase, por ejemplo, Mayo 1996). No obstante, no han estado en el centro de la discusión actual en el marco de la concepción representacionista de los modelos científicos.

Otra perspectiva para el análisis de los modelos científicos consiste en atender a la función que estos desempeñan en las prácticas científicas. Aquí también se puede constatar una amplia diversidad de fines, usos y funciones. Indudablemente, la práctica de la modelización tiene múltiples finalidades o, lo que es equivalente, los modelos se construyen para cumplir muy diferentes funciones. A menudo un mismo modelo puede desempeñar varias funciones simultáneamente, incluso en un mismo contexto de uso. Los modelos desempeñan indudablemente una función heurística y exploratoria: permiten el acceso a fenómenos poco conocidos o que no resultan tratables con los recursos del conocimiento vigente (teorías, datos observacionales u otros modelos). Otra de sus funciones principales es la predicción de los fenómenos: algunos modelos, como los modelos del clima, se construyen con la única finalidad de predecir la ocurrencia de los fenómenos, pero no se proponen describir ni explicar tales fenómenos, al menos no de manera primaria, esto es, como su objetivo principal. Una tercera función bien establecida de los modelos es su función didáctica o pedagógica: los modelos son particularmente útiles para introducir a los estudiantes en temas complejos mediante representaciones simplificadas; los modelos de bolas y varillas que se emplean en la química para ilustrar la estructura de las moléculas constituyen uno de los ejemplos mejor conocidos.

Las funciones heurística, predictiva y didáctica de los modelos son evidentes y muy pocos filósofos están dispuestos a negarlas o discutirlas. Hay otras funciones, en cambio, que han suscitado menos consenso. Una de las más discutidas es la función explicativa de los modelos. Sin duda hay modelos que proporcionan explicaciones de los fenómenos, pero estas explicaciones no siempre exhiben un mecanismo causal para la producción de dichos fenómenos. Solo un número relativamente reducido de modelos se propone aislar mecanismos causales, aunque, puede alegarse, hay modelos que proporcionan explicaciones no causales. El problema se traslada, entonces, al tipo de explicación que se busque, o, desde el punto de vista filosófico, a la clase de explicaciones que se esté dispuesto a aceptar como legítimas en el dominio de cada ciencia (para un examen detallado de esta cuestión véase Woodward 2003).

Estrechamente relacionada con la función explicativa de los modelos está la cuestión de si los modelos nos proporcionan una comprensión de los fenómenos y, si es así, qué tipo de comprensión son capaces de producir. Es bien conocido que Willian Kelvin sostuvo que sólo los modelos mecánicos de un fenómeno son aceptables porque solo ellos nos permiten entender realmente ese fenómeno (véase Bailer-Jones 2009 para un análisis detallado de este punto). Todo modelo, según Kelvin debería proporcionar, entonces, una suerte de explicación mecánico-causal. Pero es evidente que en la ciencia actual los modelos mecánicos son apenas una minoría entre los múltiples modelos que se producen. Hay innumerables modelos que son puramente matemáticos y computacionales. Tales modelos no permiten en muchos casos una representación visual de los fenómenos modelados, como ocurre, por ejemplo, en la física cuántica. Así pues, la cuestión de qué clase de comprensión nos permiten obtener esos modelos abstractos permanece todavía abierta.

La pragmática de los modelos, esto es, el estudio de la relación de los modelos con sus usuarios es un campo todavía poco explorado. Algunos aspectos, sin embargo, ya pueden comprenderse con cierta claridad. Los modelos científicos tienen una diversidad de usos y funciones que parecen ser irreductibles. Los modelos se construyen para resolver un problema determinado en un cierto dominio de fenómenos, aunque frecuentemente tienen aplicaciones en dominios de fenómenos no previstos. Con adaptaciones, son incluso capaces de migrar de una ciencia o disciplina a otras muy diferentes y aparentemente alejadas entre sí (aunque los cambios probablemente alteren la identidad del modelo, por lo que parece más razonable afirmar que es una plantilla (template), o estructura formal o computacional, del modelo la que se traslada, como hace Humphreys 2004). Los productores de los modelos y los usuarios de tales modelos generalmente no coinciden; basta pensar, por ejemplo, en el caso de los mapas. No obstante, los modelos siempre se construyen teniendo en cuenta los intereses de los usuarios y están sujetos a cambios cuando estos intereses se modifican o se transforman.

3 Los modelos en las ciencias formales   ↑

En el dominio de las ciencias formales, principalmente la matemática, los conceptos de teoría y modelo no son equívocos; al contrario, tienen un significado único y bien definido. Aquí no es posible analizarlos con detalle, por lo que solo se considerará su caracterización más general, evitando en lo posible el uso de formalismo lógico, con el fin de diferenciarlos de sus diferentes significados en las ciencias empíricas.

Ante todo, una teoría formal (en adelante, llamada simplemente teoría) se formula en un determinado lenguaje formal. Un lenguaje formal consta de un conjunto de símbolos que constituyen su vocabulario y un conjunto de reglas de formación, que especifican cómo combinar los símbolos para construir las fórmulas bien formadas de ese lenguaje. En un lenguaje formal los símbolos no tienen significado descriptivo alguno, sino solamente una categoría lógico-gramatical: constantes individuales, predicados (monádicos, diádicos, etc.) y funtores (unarios, binarios, etc.). Por consiguiente, las fórmulas bien formadas de ese lenguaje tampoco tienen significado, son meramente cadenas de símbolos construidas de acuerdo con las reglas de formación. Un lenguaje formal, entonces, es un lenguaje puramente sintáctico, es decir, dotado únicamente de una sintaxis lógica. Las fórmulas de ese lenguaje, por tanto, no tienen valor de verdad, no son ni verdaderas ni falsas.

La interpretación de un lenguaje formal consiste en asignar un único significado a cada término descriptivo de dicho lenguaje, es decir, a las constantes, predicados y funtores. Los símbolos puramente lógicos (como las conectivas, los cuantificadores y el signo de identidad), en cambio, no están sujetos a interpretación. En todo caso, tienen un significado puramente lógico ya fijado de antemano. Un lenguaje formal interpretado es un lenguaje semántico en el cual todas las fórmulas bien formadas son oraciones dotadas de un valor de verdad. Se dice, entonces, que son verdaderas, o falsas, en una determinada interpretación. Es evidente que una misma fórmula de un lenguaje formal puede ser verdadera en una interpretación dada y falsa en otra interpretación, pero no puede ser simultáneamente verdadera y falsa en una misma interpretación.

Una teoría formulada en un determinado lenguaje formal L es un conjunto lógicamente cerrado de fórmulas bien formadas de L. Esto quiere decir que si C es un conjunto no vacío de fórmulas de L, la teoría T_c es el conjunto de todas las fórmulas que se deducen de C.  En el caso de un lenguaje interpretado L_i, si O es un conjunto no vacío de oraciones de L_i la teoría T_o es el conjunto de todas las consecuencias lógicas de O. Toda teoría es un conjunto infinito de oraciones, ya que las consecuencias lógicas de cualquier oración o conjunto de oraciones son siempre infinitas en número. Particular importancia tienen las teorías axiomatizadas. Una teoría axiomatizada es simplemente el conjunto de las consecuencias lógicas de los axiomas, los cuales constituyen un subconjunto de las oraciones de un determinado lenguaje. Así si A es un conjunto no vacío de axiomas, la teoría T_A es el conjunto de todas las consecuencias de A (en símbolos: T_A = Cn (A)). El conjunto de los axiomas puede ser tanto finito como infinito. En el primer caso se dice que la teoría está finitamente axiomatizada. Una teoría axiomática formulada en un lenguaje formal (es decir, no interpretado) se llama un sistema axiomático formal.

La interpretación de un sistema axiomático formal consiste en asignar un significado a cada uno de los términos primitivos (o sea, no definidos) que aparecen en los axiomas. Para interpretar dicho sistema, o en general cualquier teoría formal, es necesario especificar un determinado dominio de objetos D, y luego, identificar una función interpretación I que asigne significado a los términos primitivos del sistema en ese dominio. La asignación de significado se hace de acuerdo con la categoría lógico-gramatical de cada término primitivo. De esta manera, la función interpretación asigna un objeto del dominio D a cada constante individual, un conjunto de objetos de D a cada predicado monádico, un conjunto de pares ordenados de objetos de D a cada predicado diádico, y así sucesivamente. Una interpretación de un lenguaje formal en general puede considerarse, entonces, como un par ordenado ⟨'D, I⟩, donde D es un conjunto no vacío de objetos cualesquiera e I es la función interpretación.

Un modelo de una teoría formal es una interpretación de dicha teoría en la cual todas las fórmulas de esa teoría resultan verdaderas. Es evidente que todo modelo es una interpretación de una teoría, pero no toda interpretación de dicha teoría constituye un modelo de la misma. Las teorías que tienen al menos un modelo se denominan satisfacibles. Las teorías inconsistentes (aquellas que contienen contradicciones) no son satisfacibles. Ello es así porque la interpretación de una teoría, a menos que se especifique lo contrario, siempre presupone la lógica clásica. Por consiguiente, no hay ninguna interpretación posible en la cual una fórmula y su negación resulten verdaderas. Las teorías inconsistentes, por tanto, no tienen modelos. Se sigue de allí que si una teoría es satisfacible, entonces, es consistente. Encontrar un modelo de una teoría dada implica ofrecer una prueba de consistencia de dicha teoría. De allí la importancia fundamental que tiene en matemática probar que una teoría es satisfacible. Si una teoría tiene un modelo, casi siempre tiene un número infinito de modelos. Pero, por cierto, eso no implica que podamos conocerlos. En verdad es muy difícil encontrar siquiera un solo modelo para las teorías matemáticas. Una misma teoría puede tener modelos en diferentes dominios de objetos, tanto abstractos (por ejemplo, conjuntos de números o de funciones) como concretos (tales como conjuntos de partículas o de moléculas). Los modelos de una teoría pueden ser tanto finitos como infinitos, según su respectivo dominio sea un conjunto finito o infinito de objetos. Encontrar diferentes modelos de una misma teoría implica encontrar nuevos dominios de objetos a los cuales dicha teoría resulta aplicable. Se llama modelo pretendido a aquel al cual se quiere aplicar una determinada teoría, a veces construida específicamente para ese fin. Algunas teorías, como la aritmética de Peano tienen un modelo pretendido específico, en este caso la aritmética elemental en el dominio de los números naturales, mientras que otras, como la teoría de grupos, no tienen un modelo pretendido. En cualquier caso, toda teoría satisfacible tendrá siempre múltiples modelos no pretendidos, no importa cuál sea su modelo pretendido.

En la matemática standard las teorías se definen como estructuras conjuntistas. Una estructura en matemática es un conjunto ordenado cuyos elementos son también conjuntos. Toda estructura posee al menos un dominio y al menos una relación o función definidas sobre ese dominio, o bien algún elemento distinguido de ese dominio. De manera más general, una estructura es un conjunto ordenado ⟨D₁,…, D_n, R₁, …, R_m,  f₁, …, f_i, a₁, …, a_k⟩. Una estructura debe contener al menos un dominio, que habitualmente se especifica como un conjunto no vacío de objetos cualesquiera, y al menos una relación, y/o función definida sobre los objetos del dominio. Una teoría matemática es una estructura en la cual se cumplen determinados axiomas. Así, por ejemplo, la aritmética de Peano de primer orden (AP₁) es la estructura , donde C es un conjunto no vacío de objetos, es un funtor unario, son dos funtores binarios (el superíndice indica el grado del funtor) y a y b son dos constantes individuales. Respecto de esta estructura se cumplen los axiomas de Peano. Estos axiomas proporcionan una definición explícita de la estructura denominada AP₁. El modelo pretendido de la aritmética de Peano es la estructura M = ⟨ℕ, S, +, x, 0, 1⟩, donde ℕ es el conjunto de los números naturales, S es la función sucesor inmediato, + y x son las operaciones de suma y producto entre números naturales, y 0 y 1 son dos elementos distinguidos de ℕ. Como se podrá advertir, el modelo se obtiene interpretando cada uno de los términos de la estructura AP₁. En el modelo M todos los axiomas de AP₁ resultan oraciones verdaderas, o, como se dice de manera más habitual, los axiomas son verdaderos en la estructura M. Dado que si los axiomas de una teoría son verdaderos también son verdaderas todas las consecuencias lógicas de esos axiomas, resulta que en M son verdaderos todos los teoremas de AP₁. Más en general, un modelo de una teoría es una estructura en la cual son verdaderos todos los teoremas de dicha teoría.

Un modelo de una teoría es siempre una estructura, es decir, un conjunto ordenado de conjuntos. Desde el punto de vista ontológico, un modelo es, por tanto, una entidad abstracta, independientemente de que el dominio de esa estructura pueda ser un conjunto de objetos concretos.

Dos estructuras se llaman similares si a) tienen el mismo número de dominios, relaciones, funciones y elementos distinguidos, y b) si las relaciones y/o funciones son del mismo grado. Así, por ejemplo, las estructuras E₁ = ⟨D₁, R₁⟩ y E₂ = ⟨D₂, R₂⟩ serán semejantes en caso de que R₁ y R₂ sean ambas relaciones monádicas, o ambas relaciones diádicas, etc., pero no serán semejantes en caso de que R₁ sea monádica y R₂ sea diádica, etc. La misma condición se aplica en caso de que la estructura contenga funciones.

Dos estructuras semejantes son isomorfas si a) sus respectivos dominios son biyectables (por tanto, tienen el mismo número de elementos), y b) si las relaciones y/o funciones preservan la estructura (es decir, si dos elementos cualquiera de una estructura están relacionados de cierta manera, entonces, los elementos correspondientes de la otra estructura están relacionados de la misma manera). Un isomorfismo es, entonces, una biyección entre dos conjuntos que preserva la estructura de tales conjuntos. Si solo se cumple la condición b), las dos estructuras son homomorfas. Un homomorfismo es una función entre dos conjuntos que preserva la estructura de tales conjuntos. Es evidente que todo isomorfismo es también un homomorfismo, pero no a la inversa. El isomorfismo y el homorfismo son ambas relaciones de equivalencia, es decir, son relaciones reflexivas, simétricas y transitivas.

Todo lo anterior relativo a las relaciones entre estructuras se aplica igualmente a las relaciones entre modelos, ya que estos son precisamente cierta clase de estructuras: aquellas en las cuales todos los teoremas de una teoría resultan verdaderos. Si todos los modelos de una misma teoría son isomorfos entre sí, se dice que dicha teoría es categórica. La relación entre teorías formales y modelos es el objeto de estudio de una de las ramas más desarrolladas de la lógica matemática, la llamada, precisamente, teoría de modelos, acerca de cuyos resultados fundamentales existe un amplio consenso en la comunidad científica (para una introducción amplia al tema véase Manzano 1999; para una exposición más avanzada véase Hodges 1997).