Filosofía de las matemáticas

La Filosofía de las matemáticas es la reflexión filosófica sobre la ontología, la epistemología, el desarrollo y métodos de las matemáticas. Siendo las matemáticas una ciencia y teniendo en cuenta el papel esencial de las matemáticas en las ciencias experimentales, se puede considerar que la Filosofía de las matemáticas es una parte de la Filosofía de la ciencia. Sin embargo, el carácter peculiar de los objetos matemáticos (aparentemente, entidades abstractas como los números y las funciones) y la naturaleza peculiar del conocimiento matemático (aparentemente, totalmente necesario y a priori) sugieren que la Filosofía de las matemáticas es una disciplina filosófica propia.

La reflexión filosófica sobre las matemáticas está presente de manera explícita en los orígenes de la Filosofía occidental. Es posible identificar al menos tres motivos por los que las matemáticas han despertado este interés. Las matemáticas ejemplifican, en primer lugar, varias distinciones tradicionales de reflexión filosófica: uno y múltiple, eterno y cambiante, inteligible y sensible. Las matemáticas han sido consideradas, en la tradición occidental, un modelo eminente de conocimiento y sus avances han constituido avances en el conocimiento en general. Ténganse en cuenta, por ejemplo, los Elementos de Euclides, el descubrimiento de los números irracionales y los números imaginarios, el cálculo y las geometrías no-euclidianas. Finalmente, las matemáticas han dado lugar a resultados relevantes para la comprensión de la naturaleza de las propias matemáticas, como las posibilidades de formalización, representación y axiomatización de distintas ramas de las matemáticas.

En este artículo se introducen en primer lugar las preguntas centrales de la Filosofía de las matemáticas. La Filosofía de las matemáticas tuvo un gran desarrollo durante el siglo XX, de modo que los autores centrales de este período (Frege, Hilbert y Brouwer) nos permiten comprender las posiciones principales dentro de la Filosofía de las matemáticas. En tercer lugar describiremos brevemente las principales posturas contemporáneas.

Una aclaración sobre la extensión y precisión de este artículo. La literatura sobre la Filosofía de las matemáticas a lo largo del pensamiento occidental es muy extensa por lo que en este artículo hemos tenido que seleccionar autores y temas. Además, algunas discusiones dentro de la Filosofía de las matemáticas envuelven cuestiones de una notable sofisticación técnica. Teniendo en cuenta el propósito del Diccionario Interdisciplinar Austral, hemos procurado entrar en estas cuestiones de manera que el texto sea auto-contenido y no excesivamente técnico a la par que informativo.

1 Preguntas centrales   ↑

La reflexión sobre la naturaleza de las matemáticas ha ocupado un lugar destacado en toda la historia del pensamiento occidental. Podemos encontrar tres grandes motivos para explicar este fenómeno.

En primer lugar, las matemáticas parecen situarse en el quicio de varias distinciones filosóficas. Los números tratan simultáneamente acerca de la unidad de las cosas múltiples; las relaciones matemáticas parecen eternas y, a la vez, permiten describir el movimiento de los cuerpos; las proposiciones geométricas expresan verdades sin aparentemente contenido sensible que, sin embargo, parecen ser realizadas (aunque imperfectamente) por objetos del mundo sensible. El hecho de conectar cuestiones aparentemente opuestas dota a las matemáticas de singular atractivo y belleza.

En segundo lugar, el conocimiento matemático ha sido considerado por muchos autores como modelo de conocimiento, particularmente en la tradición racionalista moderna, como es el caso de Descartes, Spinoza o Leibniz. Estas opiniones están presumiblemente ligadas al hecho de que el avance en el conocimiento matemático ha supuesto habitualmente un avance general del conocimiento. Los descubrimientos matemáticos más importantes han dado lugar de modo regular a avances en áreas más allá de las matemáticas. Un ejemplo claro es el cálculo diferencial que permitió el desarrollo de la mecánica clásica. Otro ejemplo, quizá menos conocido, es la demostración de los teoremas de incompletud en los que se define la noción de función recursiva primitiva fundamental para el desarrollo de la computación.

En tercer lugar, de modo particular durante el siglo XX, las matemáticas han dado lugar a resultados que muestran aspectos de la propia naturaleza de las matemáticas. Estos resultados se refieren a la posibilidad de representación de las matemáticas a través de lenguajes formales y de la demostración reglada de afirmaciones matemáticas dentro de estos sistemas.

Podemos distinguir dos grandes tipos de cuestiones dentro de la Filosofía de las matemáticas, cuestiones de epistemología de las matemáticas y cuestiones de ontología de las matemáticas. Estos dos grupos de cuestiones van generalmente unidos, en el sentido de que la visión que uno mantenga sobre un grupo de cuestiones influirá en la visión sobre el otro grupo de cuestiones.

Dentro de la epistemología de las matemáticas, la visión clásica mantiene que el conocimiento matemático tiene dos marcas características, que contrastan con otros tipos de conocimiento: es necesario y a priori. El conocimiento matemático contrasta en su necesidad con la mayor parte de las afirmaciones científicas. Es verdad que los mamíferos tienen pelo, pero parece perfectamente posible que no lo tengan. La estructura del ADN podría haber estado formada por dos cadenas paralelas en lugar de tener forma de doble hélice. La velocidad de la luz en el vacío es de aproximadamente 300.000 kilómetros por segundo, pero, aparentemente, podría haber sido un poco más o un poco menos. Por otro lado, no parece tener sentido afirmar que es posible que 7 + 2 = 10 o que podría haber habido un número finito de números primos. Se debe considerar además que, mientras que el conocimiento de las ciencias experimentales es revisable y en ocasiones se han descartado ideas muy arraigadas y que habían sido aceptadas durante cientos de años, el conocimiento matemático parece inamovible una vez ha sido establecido: la demostración matemática parece eliminar cualquier posibilidad de duda.

La a prioricidad tiene que ver con la naturaleza de la justificación requerida para que una creencia pase a ser conocimiento; concretamente, si tal justificación depende de algún aspecto particular de la experiencia sensible o si es independiente ("anterior") a ella. Al menos desde el s. XVII se conjeturó que la luz se desplazaba a una velocidad finita, sin embargo, los métodos de medición no resultaban lo suficientemente precisos para obtener una experiencia directa de la velocidad de la luz. La primera medida acertada a través de un aparato de medición fue realizada Hippolyte Fizeau en 1849. Hoy sabemos que la afirmación,

(1) La velocidad de la luz en el vacío es de aproximadamente 300.000 Km/s

es verdadera. La justificación requerida para llegar a conocer esta afirmación depende del acceso a experiencias muy concretas, de modo que se trata de un conocimiento claramente a posteriori. Por otro lado, no sabemos si la afirmación

(2) Todo par mayor que dos es igual a la suma de dos primos

es verdadera o falsa, pero parece que su demostración o refutación es independiente de nuestra capacidad de acceder a ningún tipo de experiencias sensibles particulares.

Finalmente, la afirmación

(3) Hay infinitos números primos

es conocida al menos desde época de Euclides. Su demostración, sin embargo, no parece hacer referencia a ninguna experiencia particular.

En relación a la ontología de las matemáticas existen dos posturas definidas por oposición: el realismo y el antirrealismo (este debate tiene una estrecha relación con el debate medieval sobre el problema de los universales). El realismo mantiene que los objetos matemáticos tienen una existencia propia, independiente de la mente del matemático. El antirrealismo es la postura que rechaza que los objetos matemáticos tengan una existencia independiente de la mente. Ahora bien existen al menos dos modos de rechazar el realismo: bien porque la existencia de los objetos matemáticos depende de la actividad mental (idealismo) o bien porque los objetos matemáticos no existen en ningún sentido (nominalismo).

Una forma de realismo clásico es el platonismo, según el cual los objetos matemáticos tienen una existencia propia, necesaria y eterna en un mundo separado de nuestro mundo físico aunque igualmente real (o más) ¿Qué objetos matemáticos son exactamente aquellos que tienen una existencia objetiva? ¿Los números naturales, los racionales o los reales? ¿quizá los números imaginarios? ¿o quizá figuras geométricas como puntos y rectas? ¿o relaciones y funciones? Dado que algunas ramas de la matemática pueden ser traducidas a otras ramas, no parece razonable suponer que existan todos estos tipos de objetos. Un candidato natural para ocupar este puesto es el conjunto, como comentaremos más adelante.

Del lado antirrealista, el idealismo mantiene que los objetos matemáticos no tienen una existencia propia e independiente de la mente, sino que necesitan de la actividad de la mente para existir. Un buen ejemplo es Kant para quien espacio y tiempo, temas de la geometría y de la aritmética, dependen del componente formal de la experiencia, que es puesto por el sujeto. Más contemporáneo pero siguiendo la estela kantiana L. E. J. Brouwer (1881-1966) asume explícitamente la idea de que los objetos matemáticos no son más que cierto tipo de construcción mental.

Los nominalistas toman, dentro del lado antirrealista, una posición más radical. De acuerdo con los nominalistas los objetos abstractos no existen de ninguna manera, ni independientemente de la mente del matemático ni como resultado de su actividad mental. Un modo de entender la posición nominalista consiste en entender que, en el caso del lenguaje matemático, no existe distinción entre uso y mención: los términos matemáticos hacen referencia a ellos mismos (los objetos matemáticos son, en este sentido, entidades lingüísticas). Finalmente, una posición aún más radical y unida al nominalismo es el nihilismo, la idea de que los objetos matemáticos no existen (ni dependiente ni independientemente de la mente) y ni siquiera los términos matemáticos hacen referencia a objetos de ninguna clase.

Antirrealistas y realistas suelen tomar posiciones opuestas en torno a dos cuestiones: la cognoscibilidad de las afirmaciones matemáticas y la lógica y semántica del discurso matemático.

El conocimiento implica verdad en el sentido de que si sé que dos más dos son cuatro, entonces es verdad que dos más dos son cuatro. No sé que dos más dos son cinco pues es falso que dos más dos son cinco. Más aún, no puedo saber que dos más dos son cinco, siendo falso que dos más dos es cinco. La verdad es condición necesaria de la posibilidad de conocimiento. Ahora bien, ¿es cognoscible todo aquello que es verdadero? Si el universo matemático, existe en toda su exuberancia con independencia de la mente humana, como afirman los realistas, es natural suponer que hay verdades que están más allá de nuestras limitadas capacidades cognoscitivas. Hay muchas verdades que ni siquiera soy capaz de mencionar (desafortunadamente, no puedo poner ningún ejemplo). Por el contrario, parece poco razonable sostener que hay verdades más allá de la capacidad cognoscitiva del ser humano cuando el universo matemático está generado por la propia actividad mental del matemático. Realistas y antirrealistas típicamente discrepan en este punto, para los segundos verdad y cognoscibilidad tienen la misma extensión, para los primeros la verdad es más amplia.

Otro punto clásico de discrepancia entre realistas y antirrealistas es el Principio de Bivalencia. De acuerdo con este principio, toda afirmación no ambigua tiene un valor de verdad “verdadero” o “falso” y sólo uno. Si pensamos que el universo matemático está determinado desde toda la eternidad y hasta sus últimos detalles (realismo) es natural asumir que cualquier afirmación no ambigua que podamos realizar sobre él será verdadera o falsa. Si, por el contrario, el universo matemático depende de la mente para existir, podríamos encontrarnos que hay detalles o relaciones que escapan de alguna manera a la actividad mental del matemático o que aún no han quedado totalmente determinadas por ella (el universo matemático está incompleto). En este segundo supuesto, podría haber excepciones al principio de bivalencia.

Como ilustración podemos tomar la Hipótesis del Continuo de Cantor. De acuerdo con esta hipótesis, no existe ningún conjunto con un cardinal mayor que el de los números naturales y menor que el de los números reales. A pesar de sus esfuerzos y su capacidad matemática, Cantor no fue capaz de demostrar la Hipótesis del Continuo (es el primer problema de la famosa lista propuesta por Hilbert en 1900 que recogía los 23 problemas más importantes de las matemáticas). Hoy en día sabemos (gracias a resultados de Gödel en 1940 y Cohen en 1963) que la Hipótesis del Continuo es independiente de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (es decir, no se puede ni demostrar ni refutar a partir de los axiomas de Zermelo-Fraenkel). Dado que dentro de esta teoría es posible expresar gran parte de la matemática conocida, es natural suponer, para el antirrealista, que la Hipótesis del Continuo no tiene un valor definido. El realista, por el contrario, mantendrá que tiene un valor definido, independiente de nuestras consideraciones sobre el tema.

La discrepancia en torno al principio de bivalencia puede derivar en una discrepancia sobre qué inferencias son válidas dentro del terreno matemático. Bajo ciertos supuestos, el principio de bivalencia viene expresado por la validez de la ley de tercio excluso, [math] A\lor\lnotA[/math]

De modo que una posición antirrealista puede muy bien rechazar este principio de la lógica clásica y otros relacionados, como la eliminación de la doble negación (ver sección 2.3).

Una cuestión general que requiere de explicación, sea uno realista o antirrealista, es el rol destacado que ocupan las matemáticas en gran parte de las explicaciones científicas y su aplicabilidad al mundo material. Como es bien sabido, el inicio de la mecánica está ligado al descubrimiento del cálculo. Muchos avances matemáticos han iluminado cuestiones de ciencia empírica y, en la otra dirección, cuestiones de la ciencia experimental han motivado el avance de teorías matemáticas.

Finalmente, hay que notar que las diversas tradiciones de pensamiento pueden imponer dificultades añadidas o condicionamientos sobre la visión acerca de las matemáticas. El empirismo es la corriente de pensamiento que no acepta otra justificación inmediata (es decir, distinta a razonamientos o inferencias) de una creencia que no sea la experiencia sensible. El racionalismo por su parte acepta que la experiencia sensible es una fuente inmediata de justificación del conocimiento, pero reconoce que no es ni la única ni la más importante; pueden existir otro tipo de justificaciones inmediatas como intuiciones racionales o conocimientos innatos. El empirismo es una corriente difícil de cuadrar con el platonismo, pues difícilmente los objetos abstractos pueden caer en el campo de la experiencia sensible. Es natural, por tanto, para una mentalidad empirista tender a una explicación antirrealista de las matemáticas y para un platonista tender hacia posiciones racionalistas.

Las posiciones de Platón y Kant en favor del realismo y del idealismo, respectivamente, son destacadas. De acuerdo con Platón debemos distinguir el mundo del devenir, que es aquél que cae bajo la experiencia sensible, y el mundo del ser que es puramente inteligible. El mundo del devenir no es completamente irreal, pero refleja solo parcialmente la auténtica realidad que es el mundo inteligible de las formas. Dentro de esta ontología las matemáticas juegan un papel destacado como mediadoras entre el mundo sensible y el mundo inteligible. En el caso de la geometría, por ejemplo, los puntos, las rectas, planos y esferas son entidades inteligibles instanciadas solo imperfectamente por los objetos sensibles.

En el libro VI de la República Platón expone la metáfora de la línea que divide los dos mundos: el mundo del devenir en un plano inferior y el mundo del ser en un plano superior. Estos dos mundos están a su vez divididos por otras dos líneas. El mundo del devenir contiene en su parte inferior los reflejos de los objetos físicos, en su parte superior los objetos físicos. En la parte superior del mundo del ser se encuentran las formas y mientras que los objetos matemáticos, a pesar de estar del lado del mundo inteligible están aún colindando con el mundo de los objetos físicos (Platón 510a-511c). La epistemología de Platón es fuertemente anti-empirista, siendo la experiencia sensible meramente una ocasión para el recuerdo de las formas que el alma tiene de manera innata, como se argumenta en el Menón (Platón 82b-85d). Ver (Wedberg 1955) para más sobre Platón y la Filosofía de las matemáticas.

Por su parte, Kant hereda la distinción, presente en las tradiciones empirista y racionalista, entre juicios analíticos y juicios sintéticos y añade una segunda caracterización de los juicios: a priori y a posteriori. La distinción entre analítico y sintético es una distinción más ligada al contenido de un juicio (los juicios analíticos son aquellos en los que el predicado está contenido en el sujeto, como "todo soltero es no-casado"). La distinción entre a priori y a posteriori es una distinción ligada a la justificación del juicio, como se discutió más arriba. Se podría pensar que los juicios de las matemáticas son necesarios debido a que son analíticos, sin embargo Kant desafía esta idea. De acuerdo con Kant, los juicios de la geometría y de la aritmética, al menos parte de ellos, son sintéticos a priori.

De acuerdo con Kant nuestras percepciones del mundo tienen un componente material y un componente formal. El componente material es aquello que el mundo aporta a los sentidos, el componente formal es el modo en que la subjetividad organiza lo dado a los sentidos. El espacio y el tiempo son la forma de los sentidos externos e internos. Las impresiones de los sentidos externos tienen una clara dimensión espacial mientras que las de los sentidos internos (memoria, sentido común e imaginación) una dimensión temporal. El espacio y el tiempo, por tanto, no son sustancias ni cualidades de las cosas, sino estructuras introducidas por la subjetividad en el conocimiento sensible. Los juicios de la geometría y de la aritmética versan sobre el espacio y el tiempo (en el caso de la aritmética, nótese que la idea de sucesión es clave para entender los números naturales). Sus juicios son a priori pues su justificación no depende de ninguna experiencia particular, sino del componente formal de toda experiencia. Son sintéticos, sin embargo, porque su contenido no establece meras relaciones entre los conceptos involucrados sino que implica una participación de la intuición.

El teorema del binomio, para exponente 2, establece que [math](a+b)^2\lt sup\gt \lt /sup\gt = a^2 + b^2 + 2ab[/math]. Esta proposición puede demostrarse geométricamente:

En el dibujo puede observarse que el área formada por la suma de los segmentos [math]a[/math] y [math]b[/math] elevada al cuadrado es igual al área formada por la suma de cada segmento al cuadrado más dos veces [math]ab[/math]. Hemos dicho que es posible observar que el área formada por la suma... Pero en sentido estricto, lo que observamos son manchas en un papel (o luces en la pantalla del ordenador) particulares y con cierto grosor. La idea kantiana según la cual las proposiciones de la geometría y de la aritmética son sintéticas a priori se puede entender de este modo: somos capaces de abstraer las condiciones materiales de la intuición de modo que, por ejemplo, el dibujo de arriba constituye una demostración del binomio. Ver (Posy 1992) para más sobre Kant y su Filosofía de las matemáticas.

2 Tres grandes tradiciones del siglo XX   ↑

A principios del siglo XIX tuvo lugar el descubrimiento de las geometrías no-euclidianas; ver (van Frassen, 117-128) y (Blumenthal 1980, cap. 1). Este hecho llamó la atención sobre la necesidad de emplear, dentro de las matemáticas, un lenguaje más preciso y en el que fuera posible tener un mayor control sobre las inferencias válidas. Por otra parte, durante la segunda mitad del mismo siglo, Cantor y Dedekind desarrollaron la teoría de conjuntos que permitía definir con precisión nociones matemáticas centrales como la idea de número real y función real (Goldrei 1996, cap. 2). Sin embargo, la teoría de conjuntos, tal y como se había trabajado hasta entonces, es inconsistente. Este contexto propició el interés por el estudio de los fundamentos de las matemáticas y dio lugar a varias corrientes de Filosofía de las matemáticas durante el siglo XX.

2.1 Logicismo   ↑

El logicismo mantiene que la naturaleza de las matemáticas es puramente lógica, siendo sus afirmaciones reducibles a afirmaciones que envuelven exclusivamente conceptos lógicos. El autor más destacado dentro de esta corriente de pensamiento es el matemático y filósofo alemán Gottlob Frege (1848-1925).

De acuerdo con Frege la matemática, particularmente la aritmética, es analítica y a priori. Frege entiende, sin embargo, los conceptos de analiticidad y a prioricidad en un sentido distinto al kantiano. De acuerdo con Frege, una proposición es analítica cuando su demostración se puede fundamentar exclusivamente en las leyes de la lógica y definiciones que envuelvan exclusivamente conceptos lógicos. Demostrar que las matemáticas son analíticas consiste en demostrar que sus proposiciones son demostrables a partir de las leyes de la lógica y definiciones. En este sentido, el proyecto logicista de Frege consiste en demostrar que la aritmética es analítica. Es decir, Frege pretende definir (a través de conceptos lógicos) qué es un número natural, en qué consiste la suma, la multiplicación y la exponenciación y cómo derivar de estas definiciones cualquier afirmación aritmética verdadera (Frege 1884).

Para Frege, las nociones de concepto, extensión e identidad forman parte de los conceptos de la lógica, como las nociones de conjunción o generalización existencial.