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En general, el estado de un sistema físico se define a partir del valor que asumen un conjunto de variables dinámicas relevantes. Uno de los mayores cambios conceptuales de la física cuántica es que, a diferencia de lo que sucede en la física clásica, el estado del sistema cuántico no da un acceso a las magnitudes físicas observables o medibles de un modo directo.
En 1926 Erwin Schrödinger propuso un primer formalismo ondulatorio para describir el mundo cuántico (Schrödinger 1926). En este formalismo, el estado cuántico se encuentra representado por una función compleja Ψ(''X, t'')[[File:image002.png]], denominada ''función de onda'', donde ''X''[[File:image004.png]] representa alguna magnitud física -u ''observable''- asociada al sistema como, por ejemplo, la posición o el momento cinético en el caso de una partícula.
Si bien la amplitud de Ψ[[File:image006bis.png]] es un número complejo, su cuadrado |Ψ|<sup>2</sup>[[File:image008bis.png]] es un número real que puede ser interpretado como una magnitud física. El primero en proponer esta interpretación del estado cuántico fue Max Born, quien consideró que |Ψ|<sup>2</sup>[[File:image008bis.png]] representaba la probabilidad de obtener uno de los posibles valores de un observable físico si se efectúa la medición adecuada (Pais 1982). En el caso de una partícula única, por ejemplo, si su estado está representado por la función de onda Ψ(''q, t'')[[File:image010.png]], la probabilidad de hallar la partícula en la posición ''q'' en el instante ''t'' es |Ψ(''q, t'')|<sup>2</sup>[[File:image012bis.png]].
A la versión ondulatoria de Schrödinger pronto siguió una nueva formulación vectorial más rigurosa, que es la que se utiliza en la actualidad. En 1932 (versión en inglés en 1955) John von Neumann estableció un tratamiento axiomático riguroso de la mecánica cuántica enmarcado en el espacio vectorial de Hilbert (von Neumann 1955). En la formulación de von Neumann, el estado del sistema está representado por un vector normalizado |Ψ⟩[[File:image014.png]] (vector de estado). La nueva formulación incorporó la idea de Born sobre el modo de calcular las probabilidades asociadas a un cierto estado cuántico con el nombre de ''regla de Born''.
La principal diferencia entre los estados de los sistemas cuánticos y los estados de los sistemas clásicos se encuentra en que, incluso la especificación más completa que brindan los estados cuánticos es siempre probabilística. Pues para cada magnitud física -u ''observable''- el estado cuántico sólo especifica una distribución de probabilidades de los distintos valores posibles de la magnitud, también llamado ''espectro de autovalores''. En la nueva formulación matricial los observables se representan mediante operadores lineales hermíticos, cuyos ''autovectores'' -estados asociados a un ''autovalor''- son ortogonales entre sí, y en algunos casos definen una base en el espacio de Hilbert.