Lógica matemática

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El argumento es válido porque, aunque su conclusión es falsa y alguna de sus premisas verdaderas, sin embargo, necesariamente si sus premisas fuesen todas verdaderas, la conclusión sería verdadera. O en otras palabras: es imposible que sus premisas sean verdaderas y su conclusión falsa.
Pero qué , ¿qué significa `'imposible' y `'necesario' en este contexto? Significa que no importa cuál sea la interpretación del vocabulario no-lógico, si las premisas son verdaderas, su conclusión es verdadera. Es decir, para comprobar la validez de un argumento debemos, en primer lugar, ''formalizar'' el argumento y, en segundo lugar, comprobar si hay alguna interpretación del vocabulario no-lógico donde las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa. Tomando el ejemplo anterior,
(1) Si <math>A</math> entonces <math>B</math>
'''Comentario 2.9'''
Los símbolos de predicado de un argumento se interpretan con conjuntos de individuos, pues la extensión de un predicado es el conjunto de objetos que satisfacen ese predicado. Así el predicado '... es humano' tiene como extensión el conjunto de mujeres y hombres. Los símbolos de predicados de dos argumentos (aka símbolos de relación) se interpretan con conjuntos de ''pares'' de individuos, pues el "objeto" que satisface un símbolo de relación no es un individuo sino un par de individuos. Así, la relación '... es madre de...' es satisfecha por el par <math>\langle\mathsf{María,\; Jes\acute us}\rangle</math> pero no por el par <math>\langle\mathsf{María,\; Jes\acute us,\; María}\rangle</math>.
'''Ejemplo 2.11'''
Sea <math>\mathcal{L}</math> el lenguaje de primer orden cuyo vocabulario extralógico consta de dos predicado predicados de un argumento <math>P</math> y <math>Q</math>, un predicado de dos argumentos <math>R</math>, un símbolo de función de un argumento <math>f()</math> y una constante individual <math>c</math>. Sea <math>\mathcal{A}</math> la estructura para <math>\mathcal{L}</math> tal que <math>\mathbb{U}=\{1, 2, 3, 4\},\; \mathbb{I}(P)=\{1, 2\},\; \mathbb{I}(Q)=\{2, 3\}\;\mathbb{I}(R)=\;\leq,\;\mathbb{I}(f)=</math> sucesión salvo que <math>f(4)=1</math> y <math>\mathbb{I}(c)=1</math>. Determine el valor en <math>\mathcal{A}</math> de cada una de las siguientes oraciones:
#<math>\forall x(Px\lor Qx)</math>
Una teoría, en términos generales, es un conjunto consistente de oraciones. La construcción de Henkin garantiza que cualquier teoría de un lenguaje de primer orden tiene un modelo (una interpretación donde todas las oraciones de la teoría son verdaderas). Los teoremas de Löwenheim-Skolem se refieren al ''tamaño'' de los modelos, donde el tamaño de un modelo <math>\langle\mathbb{U}, \mathbb{I}\rangle</math> es el tamaño de su universo <math>\mathbb{U}</math>.
Un conjunto es una colección de elementos y como tal tiene un determinado tamaño. Cuando un conjunto es finito, su tamaño viene expresado por un número natural. Sin embargo, ningún número natural expresa el tamaño de un conjunto infinito, pues lo característico de los números naturales es situarse a una distancia finita de 0. La idea de ''cardinal'' es la generalización de la noción de tamaño para conjuntos de cualquier tipo. El cardinal infinito más pequeño es el de los números naturales y suele ser representado como <math>\aleph_0</math> (escribiremos <math>|\mathbb{N}|=\aleph_0</math>). Dos conjuntos tienen el mismo cardinal cuando hay una correspondencia biunívoca entre ellos. En este sentido, el conjunto de los números naturales y el conjunto de los números racionales tienen el mismo tamaño, pero el conjunto de los números reales tiene un tamaño mayor (más sobre cardinales en (Zabalardo 2002, c. 6) y (Hedman 2006, 150-163)).
En un lenguaje de primer orden podemos encontrar conjuntos de oraciones que ponen un ''límite por arriba'' al tamaño de sus modelos. Por ejemplo, la oración <math>\forall x\forall y\forall z(x\approx y\lor x\approx z)</math> puede ser verdadera en estructuras que tienen a lo sumo dos elementos. El Teorema de Löwenheim-Skolem ascendente nos dice que un conjunto de oraciones de un lenguaje de primer orden con un modelo infinito no puede poner un límite por arriba a sus modelos. El teorema es una consecuencia directa del Teorema de compacidad (detalles en Zabalardo 2002, 298 y Hedman 2006, 167).
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1941
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