Autores, Editores, Burócratas, Administradores
2226
ediciones
sin resumen de edición
Dentro del espacio de Hilbert se pueden definir tres operaciones básicas entre subespacios, que dan como resultado otro subespacio: la intersección, la suma, y el complemento ortogonal de subespacios (Hughes 1989, 190-191; Vanni y Laura 2008; Vanni 2010). Con el conjunto de todos los subespacios del espacio de Hilbert y estas operaciones, queda definida una estructura de propiedades cuánticas, la cual en este caso no resulta booleana (Mittelstaedt 1978, 27; Hughes 1989, 201-206; Bub 1997, 22-30; Vanni 2010).
Como en el caso clásico, es posible identificar clases de propiedades lógicamente equivalentes con proposiciones, y así derivar de la estructura de propiedades una estructura lógica, donde los conectivos conjunción [[File:1HMQimage007bis.png]], disyunción [[File:1HMQimage009.png]], y negación [[File:1HMQimage011.png]] se corresponden ahora con las operaciones de intersección, suma, y complemento ortogonal, respectivamente. El álgebra de la estructura lógica cuántica resulta no ser booleana. Adicionalmente, no es posible representar una relación de inferencia lógica asociada a la inclusión de subespacios, como uno esperaría de su análogo clásico: debido a la pérdida de características booleanas, en el caso cuántico no es posible definir una implicación compatible con una asignación de verdad consistente (Hughes 1989, 206; Omnès 1994, 185). Bajo esta limitación, muchas veces las inferencias en mecánica cuántica son elaboradas en función de probabilidades extremas [[File:1HMQimage00.png]] o [[File:1HMQimage096.png]] 0 o 1 (Omnès 1994, 157, Omnès 1998, 142).
Como estamos interesados en representar a las propiedades en términos de proyectores y no en términos de sus correspondientes subespacios, debemos encontrar qué operaciones entre proyectores corresponden a las operaciones lógicas mencionadas. Antes de proseguir, sin embargo, es necesaria una aclaración respecto de las operaciones posibles entre propiedades incompatibles. En mecánica cuántica, dos magnitudes [[File:1HMQimage00.png]] y [[File:1HMQimage096.png]] se dicen incompatibles si sus correspondientes operadores no conmutan, esto es, si su conmutador no es nulo (Sakurai 1994, 29). El conmutador entre [[File:1HMQimage00.png]] y [[File:1HMQimage096.png]] se define como [[File:1HMQimage102.png]]. Si dos magnitudes son incompatibles, cumplen una relación de incerteza y, por consiguiente no es posible predicar sus propiedades de valor de modo simultáneo, es decir, como conjunciones (Ballentine 1990, 183; Sakurai 1994, 35). La postura tradicional consiste en sostener que las conjunciones tienen sentido sólo si corresponden a magnitudes compatibles. Esta es la postura adoptada en el formalismo de historias, sosteniendo además que no sólo las conjunciones, sino también las disyunciones tienen sentido sólo si corresponden a magnitudes compatibles. (Griffiths 1998, 1609; Griffiths y Omnès 1999, 28; Griffiths 2003, 1426). Otra postura sin embargo es la de la llamada lógica cuántica (Birkhoff y von Neumann 1936), que considera todas las operaciones bien definidas aun cuando las magnitudes asociadas sean incompatibles. En este caso, la expresión para estas operaciones en términos de proyectores, en particular para la intersección y la suma de subespacios, no es trivial (Mittelstaedt 1978, 20-21; Vanni 2010, 45).
Sin embargo, cuando se trata de la conjunción, disyunción, y negación de propiedades de valor de magnitudes compatibles, entonces las operaciones entre los correspondientes proyectores pueden definirse fácilmente. El operador de la conjunción es simplemente el producto de los operadores, es decir:
[[File:1HMQimage106.png|center]] <div align="right">(1.2)</div>
El operador de la disyunción, por otro lado, es la suma de los operadores menos el de la intercesión:
[[File:1HMQimage110.png|center]] <div align="right">(1.3)</div>
Y finalmente, el de la negación es:
[[File:1HMQimage114.png|center]] <div align="right">(1.4)</div>
Si [[File:1HMQimage047.png]] y [[File:1HMQimage116.png]] son además ortogonales, se tiene [[File:1HMQimage118.png]], expresión ésta que justifica por qué la propiedad [[File:HMQimage007.png]] mencionada más arriba tiene el proyector indicado (Vanni 2010).
Dos nociones muy importantes en el formalismo de historias cuánticas son la noción de ''espacio muestral'' (Griffiths 1996, 2760; 1998, 1605) y, asociada a la anterior, la noción de ''contexto'' (Vanni, 2010, 48; Laura y Vanni 2010). Diremos que un particular ''espacio muestral'' asociado a una magnitud [[File:1HMQimage00.png]] es el conjunto de propiedades que queda determinado por una partición completa en subconjuntos disjuntos de su espectro. En forma más clara, si [[File:1HMQimage00.png]] es una magnitud representada por un operador en un espacio de Hilbert de dimensión [[File:1HMQimage017.png]] y su espectro viene dado por [[File:1HMQimage124.png]], entonces una partición con el requerimiento mencionado será por ejemplo [[File:1HMQimage126.png]], [[File:1HMQimage128.png]], [[File:1HMQimage130.png]], [[File:1HMQimage132.png]]. De esta manera, el espacio muestral asociado a la magnitud [[File:1HMQimage00.png]], con esa partición, quedará determinado por el conjunto de propiedades representadas por los proyectores de la forma [[File:1HMQimage135.png]]. La partición es disjunta porque cada [[File:1HMQimage137.png]] tiene intersección nula con los restantes, y es completa porque la unión de todos los [[File:1HMQimage137.png]] constituyen el espectro completo de [[File:1HMQimage00.png]]. Esto resulta en el hecho de que los [[File:1HMQimage142.png]] representen propiedades de valor, o rango de valores de [[File:1HMQimage00.png]], que son excluyentes y exhaustivas; por consiguiente, dichos [[File:1HMQimage142.png]] serán ortogonales, [[File:1HMQimage147.png]], y además sumarán la identidad del espacio de Hilbert del sistema [[File:1HMQimage149bis.png]]. Se dice que los [[File:1HMQimage142.png]] que cumplen estas dos últimas propiedades forman una ''descomposición proyectiva'' de la identidad asociada a la magnitud [[File:1HMQimage00.png]]. Hacemos notar que los [[File:1HMQimage142.png]] no son necesariamente autoproyectores de, porque no necesariamente representan propiedades de valor único. Son suma de subconjuntos disjuntos de autoproyectores de [[File:1HMQimage00.png]]. Sólo en el caso particular de tener la partición más refinada posible del espectro de [[File:1HMQimage00.png]], dada por [[File:1HMQimage157.png]], tendremos que [[File:HMQimage163.png]]. En ese caso, los [[File:1HMQimage142.png]] son iguales a los autoproyectores de [[File:1HMQimage00.png]], y así [[File:1HMQimage149.png]] es la descomposición habitual de la identidad en términos de los autoproyectores de [[File:1HMQimage00.png]]. Otra cosa que es importante subrayar es que los proyectores que determinan una descomposición proyectiva conmutan entre sí; por lo tanto, representan propiedades cuánticas compatibles.
Un ''contexto'', por otro lado, es el conjunto de todas las propiedades formadas
