Cuando hablamos de propiedades de un sistema, aquí nos estamos refiriendo a ''propiedades de valor'' que toman sus magnitudes. Por ejemplo, una magnitud fundamental de cualquier sistema físico es su energía ''E''[[File:HMQimage001.png]]. Asignar una determinada “propiedad de valor” a la magnitud energía es asignar o establecer un valor, o rango de valores a su energía. Así, [[File:HMQimage003.png]]“energía igual a 5 ergios”, [[File:HMQimage007.png]]“energía entre 5 y 7 ergios”, son ejemplos de propiedades de valor un sistema físico.

En términos lógicos, cada propiedad, o más exactamente, cada clase de propiedades lógicamente equivalentes, se puede identificar con una proposición, la proposición que adjudica la propiedad al sistema (Hughes 1989, 182). Con esta identificación, podemos transformar la estructura de propiedades en una estructura lógica. En el caso clásico esto se logra definiendo los conectivos lógicos de conjunción [[File:HMQimage011HMQimage007bis.png]], disyunción [[File:HMQimage013HMQimage009.png]], y negación [[File:HMQimage015HMQimage011.png]] en términos de operaciones de intersección, unión y complemento entre conjuntos respectivamente (Hughes 1989, 181-182; Omnès 1999, 101; Vanni 2010, 36). La estructura lógica de propiedades así establecida responde a un algebra booleana, la cual es en esencia el álgebra que establece las operaciones entre conjuntos (Hughes 1989, 178-184; Bub 1997, 15-22; Boole 2009). En este tipo de estructura es posible además establecer una relación de implicación, de suma importancia para los razonamientos lógicos, que es compatible con la relación de inclusión entre conjuntos y permite una asignación de verdad consistente sobre la estructura lógica (Hughes 1989, 202; Omnès 1992, 347; Omnès 1994, 184-185; Bub 1997, 15-20). Sin embargo, esto último y muchas de las características booleanas de la estructura lógica clásica dejan de ser válidas en la mecánica cuántica. Para comprender este punto, es necesario explicar cómo se describen cuánticamente las magnitudes físicas y sus propiedades de valor.

En la mecánica cuántica, las magnitudes físicas se representan mediante operadores hermíticos que actúan sobre vectores en el llamado ''espacio de Hilbert'' [[File:HMQimage017HMQimage013.png]] del sistema (Hughes 1989, 63-65; Ballentine 1990, 2-8; Sakurai 1994, 14-16). Aclaramos aquí que, aunque la magnitud no es el objeto que la representa en la teoría, en este caso un operador, en lo que sigue la identificaremos con el operador. Así diremos “magnitud [[File:HMQimage019HMQimage00.png]]” y escribiremos el operador correspondiente.

Cada espacio de Hilbert [[File:HMQimage017HMQimage013.png]] tiene ''subespacios'', que son subconjuntos de [[File:HMQimage017HMQimage013.png]] que contienen el vector nulo, y además son cerrados ante sumas y multiplicaciones por un escalar (Hughes 1989, 35). Podemos decir que, en mecánica cuántica, las magnitudes físicas toman valores sobre ciertos subespacios en el espacio de Hilbert del sistema. Esto se puede ver al considerar que, debido a la llamada descomposición espectral (Hughes 1989, 50; Ballentine 1990, 10-11), cualquier operador [[File:HMQimage019HMQimage00.png]] hermítico en un espacio de Hilbert de dimensión igual a [[File:HMQimage021HMQimage017.png]] (suponiendo por simplicidad el caso discreto) se puede escribir de la forma

[[File:HMQimage023HMQimage019.png|center]] <div align="right">(21.1)</div>

donde, en la llamada notación de Dirac, los [[File:HMQimage025HMQimage021.png]] son operadores ''proyectores'' sobre el subespacio [[File:HMQimage027HMQimage023.png]] de dimensión uno (rectas) generado por el vector [[File:HMQimage029HMQimage025.png]]  (Hughes 1989, 64). El conjunto de los [[File:HMQimage031HMQimage027.png]] forman una base ortonormal del espacio de Hilbert (Ballentine 1990, 9: Sakurai 1994 18-19), y cada vector [[File:HMQimage029HMQimage025.png]] es llamado ''autovector'' de [[File:HMQimage019HMQimage00.png]]. Por otro lado, el conjunto [[File:HMQimage037HMQimage028.png]] es un conjunto de números reales (parametrizados discretamente por el índice [[File:HMQimage041HMQimage035.png]]) llamado ''espectro'' de [[File:HMQimage019HMQimage00.png]], y cada valor [[File:HMQimage046HMQimage038.png]] es llamado ''autovalor'' de [[File:HMQimage019HMQimage00.png]] (Hughes 1989, 42-43; Ballentine 1990, 8; Sakurai 1994, 17-19). A veces también se menciona a los [[File:HMQimage025HMQimage021.png]] como ''autoproyectores'' de [[File:HMQimage019HMQimage00.png]]. Como el conjunto de los [[File:HMQimage031HMQimage027.png]] son ortonormales, los autoproyectores [[File:HMQimage057HMQimage047.png]] correspondientes resultan ser ortogonales: esto significa que [[File:HMQimage059HMQimage049.png]], donde el símbolo [[File:HMQimage063HMQimage051.png]] es igual a 1 si [[File:HMQimage067HMQimage055.png]], y es 0 en caso contrario.

Haciendo uso de la expresión de [[File:HMQimage019HMQimage00.png]] (21.1), es muy fácil ver que [[File:HMQimage076HMQimage060.png]] (Sakurai 1994, 17). Así decimos que la magnitud [[File:HMQimage019HMQimage00.png]] toma valor [[File:HMQimage046HMQimage038.png]] sobre el subespacio [[File:HMQimage027HMQimage023.png]] generado por [[File:HMQimage029HMQimage025.png]] porque al aplicar [[File:HMQimage019HMQimage00.png]] sobre [[File:HMQimage029HMQimage025.png]], nos devuelve simplemente el valor [[File:HMQimage046HMQimage038.png]] multiplicado por [[File:HMQimage029HMQimage025.png]]. Así, los distintos valores [[File:HMQimage037HMQimage028.png]] que participan en la descomposición espectral son los posibles valores que puede tomar la magnitud [[File:HMQimage019HMQimage00.png]], los cuales pueden ser corroborados en una medición de dicha magnitud (Hughes 1989, 64). Lo central aquí es que cada posible valor de [[File:HMQimage019HMQimage00.png]] queda naturalmente asociado al subespacio [[File:HMQimage027HMQimage023.png]] y, por lo tanto, al proyector [[File:HMQimage025HMQimage021.png]] que proyecta sobre [[File:HMQimage027HMQimage023.png]]. Debido a esta asociación, las propiedades que asignan un valor, o rango de valores, a la magnitud [[File:HMQimage019HMQimage00.png]] pueden ser representadas por el proyector asociado a ese valor, o rango de valores. Por ejemplo, la propiedad [[File:HMQimage003.png]]"[[File:HMQimage019HMQimage00.png]] con valor igual a 5” se podrá representar por el proyector [[File:HMQimage089HMQimage073.png]]. En cambio, la propiedad [[File:HMQimage007.png]]"[[File:HMQimage019HMQimage00.png]] con valor mayor o igual a 5 y menor o igual que 7”, se representará por el proyector [[File:HMQimage097HMQimage077.png]]. Como hemos dicho, cada proyector se corresponde con un subespacio en el espacio de Hilbert, por lo que también podemos representar cada propiedad como un subespacio. Esto es de hecho lo que en general se hace en la bibliografía. Aquí, sin embargo, orientados a lo que el formalismo de historias cuánticas necesita, buscaremos tratar las propiedades principalmente en términos de proyectores.

Entre las distintas propiedades que pueden predicarse, existen dos muy particulares: la ''propiedad universal'', también llamada identidad [[File:HMQimage099HMQimage079.png]], que siempre podrá asignarse al sistema; y la ''propiedad nula'', también llamada cero [[File:HMQimage071HMQimage057.png]], que nunca podrá asignarse al sistema. Identificaremos la propiedad universal [[File:HMQimage099.png]] con el ''proyector identidad'' en el espacio de Hilbert del sistema, que es el operador que, aplicado a cualquier vector, lo deja idéntico. Es muy útil representar este operador por la suma de todos los posibles autoproyectores asociados a una magnitud dada, es decir [[File:HMQimage105HMQimage083.png]] (Ballentine 1990, 10; Sakurai 1994, 19). Sin embargo esa representación no es única; volveremos a esta cuestión más abajo, con la importante noción de espacio muestral. Por otro lado, la propiedad nula se podrá representar por el ''proyector nulo'' del espacio de Hilbert del sistema, es decir por el [[File:HMQimage071HMQimage057.png]] visto como operador, que transforma cualquier vector en  el vector nulo (Hughes 1989, 15).

Como en el caso clásico, es posible identificar clases de propiedades lógicamente equivalentes con proposiciones, y así derivar de la estructura de propiedades una estructura lógica, donde los conectivos conjunción [[File:HMQimage011HMQimage007bis.png]], disyunción [[File:HMQimage013HMQimage009.png]], y negación [[File:HMQimage015HMQimage011.png]] se corresponden ahora con las operaciones de intersección, suma, y complemento ortogonal, respectivamente. El álgebra de la estructura lógica cuántica resulta no ser booleana. Adicionalmente, no es posible representar una relación de inferencia lógica asociada a la inclusión de subespacios, como uno esperaría de su análogo clásico: debido a la pérdida de características booleanas, en el caso cuántico no es posible definir una implicación compatible con una asignación de verdad consistente (Hughes 1989, 206; Omnès 1994, 185). Bajo esta limitación, muchas veces las inferencias en mecánica cuántica son elaboradas en función de probabilidades extremas [[File:HMQimage071HMQimage00.png]] o [[File:HMQimage065HMQimage096.png]] (Omnès 1994, 157, Omnès 1998, 142).

Como estamos interesados en representar a las propiedades en términos de proyectores y no en términos de sus correspondientes subespacios, debemos encontrar qué operaciones entre proyectores corresponden a las operaciones lógicas mencionadas. Antes de proseguir, sin embargo, es necesaria una aclaración respecto de las operaciones posibles entre propiedades incompatibles. En mecánica cuántica, dos magnitudes [[File:HMQimage019HMQimage00.png]] y [[File:HMQimage122HMQimage096.png]] se dicen incompatibles si sus correspondientes operadores no conmutan, esto es, si su conmutador no es nulo (Sakurai 1994, 29). El conmutador entre [[File:HMQimage019HMQimage00.png]] y [[File:HMQimage122HMQimage096.png]] se define como [[File:HMQimage124HMQimage102.png]]. Si dos magnitudes son incompatibles, cumplen una relación de incerteza y, por consiguiente no es posible predicar sus propiedades de valor de modo simultáneo, es decir, como conjunciones (Ballentine 1990, 183; Sakurai 1994, 35). La postura tradicional consiste en sostener que las conjunciones tienen sentido sólo si corresponden a magnitudes compatibles. Esta es la postura adoptada en el formalismo de historias, sosteniendo además que no sólo las conjunciones, sino también las disyunciones tienen sentido sólo si corresponden a magnitudes compatibles. (Griffiths 1998, 1609; Griffiths y Omnès 1999, 28; Griffiths 2003, 1426). Otra postura sin embargo es la de la llamada lógica cuántica (Birkhoff y von Neumann 1936), que considera todas las operaciones bien definidas aun cuando las magnitudes asociadas sean incompatibles. En este caso, la expresión para estas operaciones en términos de proyectores, en particular para la intersección y la suma de subespacios, no es trivial (Mittelstaedt 1978, 20-21; Vanni 2010, 45).